线性代数知识

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线性代数,行列式交换任意两行行列式变号一次,那么这两行一定要相邻吗?如果是矩阵呢?矩阵用变号吗,为什么?

 

行列式行行之间、列列之间交换不必相邻。矩阵行列互换不用变号,互换后相当于左乘或右乘一个初等矩阵,不再是原先的矩阵,但是和原先的矩阵相似,拥有相同的特征值。
 
追问
乘上得这个初等矩阵是?
 
 
还有一个,矩阵某行直接除以二,结果的矩阵还是等于原来的矩阵?
 
追答
如果交换行,那么左乘一个初等矩阵:这个初等矩阵是对角阵I(有些书上记作E,就是除主对角线全是1之外全是零的矩阵)的相应行互换。
比如交换一二行:
1 2 3 4 5 6
4 5 6 → 1 2 3
7 8 9 7 8 9
相当于左乘交换了一二行之后的对角阵I
4 5 6 0 1 0 1 2 3
1 2 3 = 1 0 0 · 4 5 6
7 8 9 0 0 1 7 8 9

交换列则右乘这个初等矩阵,同样是对角阵I交换对应列之后的结果。

乘以二之后不再是原来的矩阵。

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