状压DP --- [NOI2015]寿司晚宴

Posted 2020-11-01 ReMoon

[NOI2015]寿司晚宴

题目描述

为了庆祝NOI的成功开幕，主办方为大家准备了一场寿司晚宴。

小G和小W作为参加NOI的选手，也被邀请参加了寿司晚宴。

在晚宴上，主办方为大家提供了n?1种不同的寿司，编号1,2,3,?,n-1，其中第种寿司的美味度为i+1（即寿司的美味度为从2到n）。

现在小G和小W希望每人选一些寿司种类来品尝，他们规定一种品尝方案为不和谐的当且仅当：

小G品尝的寿司种类中存在一种美味度为x的寿司，小W品尝的寿司中存在一种美味度为y的寿司，而x与y不互质。

现在小G和小W希望统计一共有多少种和谐的品尝寿司的方案（对给定的正整数p取模）。

注意一个人可以不吃任何寿司

 

输入格式：

从文件dinner.in中读入数据。

输入文件的第1行包含2个正整数n，p中间用单个空格隔开，表示共有n种寿司，最终和谐的方案数要对p取模。

 

输出格式：

输出到文件dinner.out中。

输出一行包含1个整数，表示所求的方案模p的结果。

 

数据范围：

\(30pt : 2 <= n <= 30\)

\(50pt : 2 <= n <= 100\)

\(70pt : 2 <= n <= 200\)

\(100pt : 2 <= n <= 500\)

\(p <= 1000000000\)

 

嗯。。。。。。。。。怎么讲呢？虽然自己很快就想出来了，但是感觉自己还是很弱。

周六下午，一看这数据范围，\(O(n^{3})\)的\(DP\)

\(dp(i,j,k)\)表示枚举到第\(i\)个数字，第\(j\)个质数，第\(k\)个。。。。。哪来的三个维？？？

突然想到大佬提起过状压。

还能压什么？压因子啊。

看了下500以内的素数个数：94个。。。。。。不现实啊

突然想到\(\sqrt{500}=22\)内只有\(2,3,5,7,11,13,17,19\)这\(8\)个质数

\(dp(i,S)\)表示枚举到数字\(i\)，因子状态为\(S\)

复杂度\(O(2^8*n)\)。。。。太小了吧。。。。。

不是两个集合吗？加一维：\(dp(i,S1,S2)\)表示枚举到数字\(i\)，第一个集合的因子状态\(S1\)，第二个\(S2\)

嗯。。。。。。大于\(\sqrt{n}\)的怎么办？？？

放置了一会去想其他题目，突然懂了大于\(\sqrt{n}\)的因子不会在一个一个数中出现两次，因此可以把每个大因子集合单独拿出来\(DP\)

？？？做完了？？？其实思路是差不多完了。

 

进入正题：

对于第一维根本没有必要保持，可以去掉。

设\(sta[i]\)表示\(i\)的因子状压出来的数字。

小因子转移方程：

\(dp(S1|sta[i],S2)=dp(S1|sta[i],S2)+dp(S1,S2)(sta[i]\;and\;S2==0)\)

\(dp(S1,S2|sta[i])=dp(S1,S2|sta[i])+dp(S1,S2)(sta[i]\;and\;S1==0)\)

而对于大因子，我们需要多开一维来记录大因子允许存在于第几个集合中

即\(f(0/1,S1,S2)\)

转移方程：（以下转移条件同上，略去）

\(f(0,S1|sta[i],S2)=f(0,S1|sta[i],S2)+f(0,S1,S2)\)

\(f(1,S1|sta[i],S2)=f(1,S1|sta[i],S2)+f(1,S1,S2)\)

而最后合并的时候，因为两个\(f\)数组中都考虑了大因子不存在的情况，因此要减去一个，减什么？

还有什么没有考虑大因子呢？

自然是\(dp(S1,S2)\)

大因子DP合并到小因子DP转移方程：

\(dp(S1,S2)=f(0,S1,S2)+f(1,S1,S2)-dp(S1,S2)\)

最后答案即为：

\(\sum_{i=0}^{2^{8}-1} \sum_{j=0}^{2^{8}-1} dp(i,j)\)

 

时间复杂度：\(O(n*2^{16})\) 

 

补充：

模的是\(10^{10}\)是\(long\;\;long\)范围的，不能开\(int\)

 

卡常代码，不建议仿生，可以选择参考其他人的

代码在此