luogu2303 [SDOI2012] Longge的问题

Posted 2020-11-01 headboy2002

题目大意：给出n，求sum foreach i(1<=i<=n) (gcd(n, i))。

1~n有太多的数，但是n与m的最大公约数却有很多重复。所以我们枚举最大公约数k，然后让k乘以与n的最大公约数为k的m的个数s[k]那就好了！但是s[k]怎么求呢？如果gcd(m,n)=k，则gcd(m/k,n/k)=1。也就是说与n最大公约数为k的m的个数就等于与n/k的最大公约数为1的个数。这可以用欧拉公式求。k从哪儿来呢？从n的约数中来。

注意：枚举约数时，枚举终点为sqrt(n)，循环到i时，要记住不但i是n的约数，n/i也是n的约数。我们要让时间复杂度为O(sqrt(n)),而不是O(n)。

#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

#define ll long long

ll Phi(ll n)
{
	ll ans = n;
	for (ll i = 2; i*i <= n; i++)
	{
		if (n%i==0)
		{
			ans = ans / i * (i - 1);
			while (n%i==0)
				n /= i;
		}
	}
	if (n > 1)
		ans = ans / n * (n - 1);
	return ans;
}

ll Proceed(ll n)
{
	ll ans = 0;
	for (ll i = 1; i <= sqrt(n); i++)
	{
		if (n%i == 0)
		{
			ans += i * Phi(n / i);
			if (i*i<n)
				ans += (n / i) * Phi(i);
		}
	}
	return ans;
}

int main()
{
	ll n;
	scanf("%lld", &n);
	printf("%lld\n", Proceed(n));
	return 0;
}