线性同余方程

Posted 2020-11-01 headboy2002

如何解方程a*x≡b(mod m)呢？因为a*x-b|m, 故令a*x-b=-y*m，即a*x+m*y=b。根据Bezout定理，该方程有解当且仅当gcd(a,m)|b。我们把等式两边同乘以gcd(a,m)/b，得到a*x0+m*y0=gcd(a, m)。这个方程可以用扩展欧几里得算法求得得到x0。等式是怎么乘的，就再把它除回来，也就是x=x0*b/gcd(a,m)。关于方程的通解，a*x+k*lcm(a,m)+m*y-k*lcm(a,m)=b，lcm(a,m)=a*m/gcd(a,m)，也就是a*(x+k*m/gcd(a,m))+m*(y+k*a/gcd(a,m))=b，所以方程的通解为所有与x同余m/gcd(a,m)的数。若要求最小正整数解，令p=m/gcd(a,m)，然后x=(x%p+p)%p即可。

ll Exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	ll d = Exgcd(b, a%b, x, y);
	ll tx = x;
	x = y;
	y = tx - (a / b) * y;
	return d;
}

ll Gcd(ll a, ll b)
{
	return b ? Gcd(b, a%b) : a;
}

ll Eq(ll a, ll b, ll m)
{
	ll gcd = Gcd(a, m);
	if (b%gcd)
		return -1;
	ll x, y;
	Exgcd(a, m, x, y);
	x = x * b / gcd;
	ll p = m / gcd;
	return (x%p+p) % p;
}