[BZOJ2095]Bridges

Posted 2020-11-01 jefflyy

最大值最小，是二分

转化为判定问题：给定一个混合图，问是否存在欧拉回路

首先，有向图存在欧拉回路的充要条件是每个点的入度等于出度，现在我们有一个混合图，我们要做的就是给其中的无向边定向，使得它变成有向图之后存在欧拉回路

记点$x$的入度为$in_x$，出度为$out_x$，我们的目标是使得每个点$x$满足$in_x-out_x=0$

先随便给每条无向边定向，这样不一定满足要求，所以我们必须让某些边反向，反向$a\rightarrow b$会让$in_a-out_a$增加$2$，让$in_b-out_b$减少$2$，所以如果存在$in_x-out_x\equiv1(\text{mod }2)$那么无解

为了决定是否反向某些无向边，我们这样建图：

对于$in_x\lt out_x$的$x$，连边$x\rightarrow T$，容量为$\dfrac{out_x-in_x}2$

对于$in_x\gt out_x$的$x$，连边$S\rightarrow x$，容量为$\dfrac{in_x-out_x}2$

对于一条无向边，如果一开始硬点它的方向为$x\rightarrow y$，那么连边$y\rightarrow x$，权值为$1$

这样建图跑最大流，每流过一条原图中的无向边就相当于将它反向（这条无向边的两个端点的流量之和就是$\left|in_x-out_x\right|$的改变量），跑最大流是因为我们想要尽可能地缩小$in_x$和$out_x$的差距，如果满流，自然就存在欧拉回路了

#include<stdio.h>
#include<string.h>
const int inf=2147483647;
int abs(int x){return x>0?x:-x;}
int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
int h[1010],cur[1010],nex[10010],to[10010],cap[10010],dis[1010],q[10010],M,S,T;
void add(int a,int b,int c){
	M++;
	to[M]=b;
	cap[M]=c;
	nex[M]=h[a];
	h[a]=M;
	M++;
	to[M]=a;
	cap[M]=0;
	nex[M]=h[b];
	h[b]=M;
}
bool bfs(){
	int head,tail,x,i;
	memset(dis,-1,sizeof(dis));
	head=tail=1;
	q[1]=S;
	dis[S]=0;
	while(head<=tail){
		x=q[head];
		head++;
		for(i=h[x];i;i=nex[i]){
			if(cap[i]&&dis[to[i]]==-1){
				dis[to[i]]=dis[x]+1;
				if(to[i]==T)return 1;
				tail++;
				q[tail]=to[i];
			}
		}
	}
	return 0;
}
int dfs(int x,int flow){
	if(x==T)return flow;
	int i,f;
	for(i=cur[x];i;i=nex[i]){
		if(cap[i]&&dis[to[i]]==dis[x]+1){
			f=dfs(to[i],min(flow,cap[i]));
			if(f){
				cap[i]-=f;
				cap[i^1]+=f;
				if(cap[i])cur[x]=i;
				return f;
			}
		}
	}
	dis[x]=-1;
	return 0;
}
int dicnic(){
	int ans=0,tmp;
	while(bfs()){
		memcpy(cur,h,sizeof(h));
		while(tmp=dfs(S,inf))ans+=tmp;
	}
	return ans;
}
int n,m,in[1010],ou[1010];
struct edge{
	int x,y,a,b;
}e[2010];
bool check(int lim){
	int i,s;
	memset(h,0,sizeof(h));
	memset(in,0,sizeof(in));
	memset(ou,0,sizeof(ou));
	M=1;
	for(i=1;i<=m;i++){
		if(e[i].a<=lim&&e[i].b<=lim){
			add(e[i].y,e[i].x,1);
			ou[e[i].x]++;
			in[e[i].y]++;
		}else if(e[i].a<=lim){
			ou[e[i].x]++;
			in[e[i].y]++;
		}else if(e[i].b<=lim){
			ou[e[i].y]++;
			in[e[i].x]++;
		}else
			return 0;
	}
	s=0;
	for(i=1;i<=n;i++){
		if(abs(in[i]-ou[i])&1)return 0;
		if(in[i]<ou[i])add(i,T,(ou[i]-in[i])>>1);
		if(in[i]>ou[i]){
			add(S,i,(in[i]-ou[i])>>1);
			s+=(in[i]-ou[i])>>1;
		}
	}
	return s==dicnic();
}
int main(){
	int i,l,r,mid,ans;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].a,&e[i].b);
	S=n+1;
	T=n+2;
	ans=-1;
	l=0;
	r=1000;
	while(l<=r){
		mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid)){
			ans=mid;
			r=mid-1;
		}else
			l=mid+1;
	}
	if(ans==-1)
		puts("NIE");
	else
		printf("%d",ans);
}