BZOJ_3944_Sum_杜教筛

Posted 2020-10-31 fcwww

BZOJ_3944_Sum_杜教筛

Description

Input

一共T+1行

第1行为数据组数T(T<=10)

第2~T+1行每行一个非负整数N，代表一组询问

Output

一共T行，每行两个用空格分隔的数ans1,ans2

Sample Input

6
1
2
8
13
30
2333

Sample Output

1 1
2 0
22 -2
58 -3
278 -3
1655470 2

---

 

学习下杜教筛，推一波式子。

首先有反演式子$\sum\limits_{d|n}\varphi(d)=n$

$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{d|i}\varphi(d)=\frac{n*(n+1)}{2}$

约数$j$出现了$n/j$次，故约数$j$将会在$i=n/j$时停止枚举。

相当于第$i$次枚举$1$到$n/i$中的数即可。

$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor n/i\rfloor}
\varphi(j)=\frac{n*(n+1)}{2}$

$\sum\limits_{i=1}^{n}sum[n/i]=\frac{n*(n+1)}{2}$

$sum[n]+\sum\limits_{i=2}^{n}sum[n/i]=\frac{n*(n+1)}{2}$

然后记忆化搜索，每次可以分块求，总时间复杂度$O(n^{\frac{3}{4}})$。

根据均值不等式，预处理出$n^{\frac{2}{3}}$内的答案再用上面的式子能够最优。

总时间复杂度$O(n^{\frac{2}{3}}logn)，log$是$map$带来的。