BSGS算法+逆元 POJ 2417 Discrete Logging

Posted 2020-07-10 tech-chen

                                                      POJ 2417 Discrete Logging

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Description

Given a prime P, 2 <= P < 2³¹, an integer B, 2 <= B < P, and an integer N, 1 <= N < P, compute the discrete logarithm of N, base B, modulo P. That is, find an integer L such that 

B^l==N(mod p)

Input

Read several lines of input, each containing P,B,N separated by a space.

Output

For each line print the logarithm on a separate line. If there are several, print the smallest; if there is none, print "no solution".

Sample Input

5 2 1
5 2 2
5 2 3
5 2 4
5 3 1
5 3 2
5 3 3
5 3 4
5 4 1
5 4 2
5 4 3
5 4 4
12345701 2 1111111
1111111121 65537 1111111111

Sample Output

0
1
3
2
0
3
1
2
0
no solution
no solution
1
9584351
462803587

  1 /*BSGS算法+逆元*/
  2 这个主要是用来解决这个题：
  3 
  4 A^x=B(mod C)(C是质数)，都是整数，已知A、B、C求x。
  5 
  6 我在网上看了好多介绍，觉得他们写得都不够碉，我看不懂…于是我也来写一发。
  7 
  8 先把x=i*m+j，其中m=ceil(sqrt(C))，（ceil是向上取整）。
  9 
 10 这样原式就变为A^(i*m+j)=B(mod C)，
 11 
 12 再变为A^j=B*A^(-m*i) (mod C)，
 13 
 14 先循环j=0~(C-1)，把（A^j,j)加入hash表中，这个就是Baby Steps
 15 
 16 下面我们要做的是枚举等号右边，从hash表中找看看有没有，有的话就得到了一组i j，x=i*m+j，得到的这个就是正确解。
 17 
 18 所以，接下来要解决的就是枚举B*A^(-m*i) (mod C)这一步（这就是Giant Step
 19 
 20 A^(-m*i)相当于1/(A^(m*i))，里面有除法，在mod里不能直接用除法，这时候我们就要求逆元。
 21 
 22 /*百度百科：
 23 
 24 若ax≡1 mod f, 则称a关于模f的乘法逆元为x。也可表示为ax≡1(mod f)。
 25 当a与f互素时，a关于模f的乘法逆元有唯一解。如果不互素，则无解。如果f为素数，则从1到f-1的任意数都与f互素，即在1到f-1之间都恰好有一个关于模f的乘法逆元。
 26 */
 27  
 28 然后我们用超碉的exgcd求逆元，exgcd（扩展欧几里德算法）就是在求AB的最大公约数z的同时，求出整数x和y，使xA+yB=z。算法实现就是gcd加几个语句。
 29 然后我们再来看一下exgcd怎么求逆元：
 30 对xA+yB=z，
 31 
 32 变成这样xA = z - yB，取B=C（C就是我们要mod的那个）
 33 
 34 推导出 xA % C = z %C
 35 
 36 只要  z%C==1 时,就可以求出A的逆元x
 37 
 38 但用exgcd求完，x可能是负数，还需要这样一下：x=(x%C+C)%C
 39 
 40 //--exgcd介绍完毕--
 41 
 42 再看我们的题目，
 43 
 44 exgcd(A^(m*i) , C)=z，当C是质数的时候z肯定为1，这样exgcd求得的x就是逆元了。
 45 
 46 因为x就是A^(m*i)的逆元，P/(A^(m*i))=P*x，所以
 47 
 48 B*A^(-m*i) = B/(A^(m*i)) = B*x(mod C)
 49 
 50 这样我们的式子A^j=B*A^(-m*i) (mod C)的等号右边就有了，就是B*x，就问你怕不怕！
 51 
 52 枚举i，求出右边在hash里找，找到了就返回，无敌！
 53 
 54 /*---------分割线-----------------------*/
 55 #include<cmath>
 56 #include<iostream>
 57 using namespace std;
 58 #include<cstdio>
 59 #include<cstring>
 60 #define mod 100007
 61 #define ll long long
 62 struct hash
 63 {
 64     ll a[mod+10],v[mod+10];
 65     hash(){memset(a,-1,sizeof(a));}
 66     int locate(ll x)
 67     {
 68         ll l=x%mod;
 69         while(a[l]!=x&&a[l]!=-1) l=(l+1)%mod;
 70         return l;
 71     }
 72     void insert(ll x,int i)
 73     {
 74         ll l=locate(x);
 75         if(a[l]==-1)
 76         {
 77             a[l]=x;
 78             v[l]=i;
 79         }
 80     }
 81     int get(ll x)
 82     {
 83         ll l=locate(x);
 84         return (a[l]==x)?v[l]:-1;
 85     }
 86     void clear()
 87     {
 88         memset(a,-1,sizeof(a));
 89     }
 90 }s;
 91 void  exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
 92 {
 93     if(b==0)
 94     {
 95         x=1;
 96         y=0;
 97         return ;
 98     }
 99     exgcd(b,a%b,x,y);
100     ll t=x;
101     x=y;
102     y=t-a/b*y;
103 }
104 int main()
105 {
106     ll p,b,n;
107     while(scanf("%I64d%I64d%I64d",&p,&b,&n)==3)
108     {
109         s.clear();
110         ll m=ceil(sqrt(p));
111         ll t=1;
112         for(int i=0;i<m;++i)
113         {
114             s.insert(t,i);
115             t=(t*b)%p;
116         }
117         ll d=1,ans=-1;
118         ll x,y;
119         for(int i=0;i<m;++i)
120         {
121             exgcd(d,p,x,y);
122             x=((x*n)%p+p)%p;
123             y=s.get(x);
124             if(y!=-1)
125             {
126                 ans=i*m+y;
127                 break;
128             }
129             d=(d*t)%p;
130         }
131         if(ans==-1)
132           printf("no solution\n");
133         else printf("%I64d\n",ans);
134     }
135     
136     return 0;
137 }