[HNOI2008][bzoj1009] GT考试 [KMP+矩阵快速幂]

Posted 2020-10-31 Orion545

题面

传送门

思路

首先，如果$n$和$m$没有那么大的话，有一个非常显然的dp做法：

设$dp[i][j]$表示长度为i的字符串，最后j个可以匹配模板串前j位的情况数

那么显然，答案就是$\sum_{i=0}^{m-1}dp[n][i]$了

转移过程则需要用一个辅助数组：令$g[i][j]$表示模板串的前缀$i$可以转移到前缀$j$的方法数（注意它可能可以转移到很多个串）

辅助数组的生成可以用next数组来推（模板串太短，其实暴力也是可以的）

那么$dp[i+1][k]=dp[i][j]*g[j][k]\left(j=1...m\right)$

然后再看这题的数据范围：$n\leq 10^9$

Easy，加一个矩阵快速幂来解决上面的递推就行了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define inf 1e9
using namespace std;
int MOD;
struct ma{//矩阵类
    int n,m,a[25][25];
    ma(){n=m=0;memset(a,0,sizeof(a));}
    void clear(){n=m=0;memset(a,0,sizeof(a));}
}A,B;
void mul(ma &a,ma b){//矩阵乘法
    ma re;int i,j,k;re.n=a.n;re.m=b.m;
    for(i=0;i<=re.n;i++){
        for(k=0;k<=a.m;k++){
            if(!a.a[i][k]) continue;
            for(j=0;j<=re.m;j++){
                re.a[i][j]=(re.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%MOD)%MOD;
            }
        }
    }
    a=re;
}
int n,m,a[30],fail[30],f[30][10];char s[30];
void qpow(ma &x,ma &y,int t){//快速幂
    while(t){
        if(t&1) mul(x,y);
        mul(y,y);t>>=1;
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&m,&n,&MOD);
    scanf("%s",s);int i,j,k;
    for(i=0;i<n;i++) a[i]=s[i]-'0';a[n]=inf;
    fail[0]=fail[1]=0;j=0;
    for(i=1;i<n;i++){//求出next数组
        while(j&&(a[i]!=a[j])) j=fail[j];
        j+=(a[i]==a[j]);fail[i+1]=j;
    }
    for(i=0;i<n;i++){//生成转移矩阵
        for(j=0;j<10;j++){
            k=i;while(k&&a[k]!=j) k=fail[k];
            k+=(a[k]==j);
            if(k<n) B.a[i][k]+=1;
        }
    }
    B.m=B.n=A.m=n-1;A.n=0;A.a[0][0]=1;
    qpow(A,B,m);
    int ans=0;
    for(i=0;i<n;i++) ans+=A.a[0][i],ans%=MOD;
    printf("%d",ans);
}