BZOJ_5015_[Snoi2017]礼物_矩阵乘法

Posted 2020-10-31 fcwww

BZOJ_5015_[Snoi2017]礼物_矩阵乘法

Description

热情好客的请森林中的朋友们吃饭，他的朋友被编号为 1～N，每个到来的朋友都会带给他一些礼物：。其中，第

一个朋友会带给他 1 个，之后，每一个朋友到来以后，都会带给他之前所有人带来的礼物个数再加他的编号的 K 

次方那么多个。所以，假设 K=2，前几位朋友带来的礼物个数分别是：1,5,15,37,83假设 K=3，前几位朋友带来的

礼物个数分别是：1,9,37,111现在，好奇自己到底能收到第 N 个朋友多少礼物，因此拜托于你了。已知 N,K请输

出第 N 个朋友送的礼物个数 mod1000000007。

PDF题面:www.lydsy.com/JudgeOnline/upload/gift.pdf

Input

第一行，两个整数 N,K

N≤10^18,K≤10

Output

一个整数，表示第 N 个朋友送的礼物个数 mod1000000007。 

Sample Input

4 2

Sample Output

37

---

设序列的前缀和为$S_n$,$S_n=S_{n-1}+n^{k}$。

$(S_{n-1}\; n^{k}\; ...n^{0})$ -> $(S_{n}\;(n+1)^{k}\;...(n+1)^{0})$

转移矩阵发现可以用二项式定理。

 

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int m;
ll n,mod=1000000007,c[15][15];
struct Mat {
	ll v[14][14];
	Mat(){memset(v,0,sizeof(v));}
	Mat operator*(const Mat &x)const {
		Mat re;int i,j,k;
		for(i=1;i<=m;i++) {
			for(j=1;j<=m;j++) {
				for(k=1;k<=m;k++) {
					(re.v[i][j]+=v[i][k]*x.v[k][j]%mod)%=mod;
				}
			}
		}
		return re;
	}
};
void print(Mat x) {
	int i,j;
	for(i=1;i<=m;i++) {
		for(j=1;j<=m;j++) {
			printf("%lld ",x.v[i][j]);
		}
		puts("");
	}
}
Mat qp(Mat x,ll y) {
	Mat I;
	int i;
	for(i=1;i<=m;i++) I.v[i][i]=1;
	while(y) {
		if(y&1ll) I=I*x;
		x=x*x;
		y>>=1ll;
	}
	return I;
}
Mat build() {
	Mat x;
	int i,j;
	x.v[1][1]=2; x.v[2][1]=1;
	for(i=2;i<=m;i++) {
		int k=m-i+1;
		for(j=0;j<=k;j++) {
			x.v[j+i][i]=c[k-1][j];
		}
	}
	/*for(i=1;i<=m;i++) {
		for(j=1;j<=m;j++) {
			printf("%lld ",x.v[i][j]);
		}
		puts("");
	}*/
	return x;
}
void init() {
	int i,j;
	for(i=0;i<=m;i++) c[i][0]=c[i][i]=1;
	for(i=1;i<=m;i++) {
		for(j=1;j<=m;j++) {
			c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
		}
	}
}
int main() {
	scanf("%lld%d",&n,&m); m+=2;
	init();
	Mat A;
	int i;
	for(i=2;i<=m;i++) A.v[1][i]=1;
	Mat x=build();
	Mat T=A*qp(x,n-1);
	//print(T);
	printf("%lld\n",((T*x).v[1][1]-T.v[1][1]+mod)%mod);
}