P1220 关路灯
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了P1220 关路灯相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
题目描述
某一村庄在一条路线上安装了n盏路灯,每盏灯的功率有大有小(即同一段时间内消耗的电量有多有少)。老张就住在这条路中间某一路灯旁,他有一项工作就是每天早上天亮时一盏一盏地关掉这些路灯。
为了给村里节省电费,老张记录下了每盏路灯的位置和功率,他每次关灯时也都是尽快地去关,但是老张不知道怎样去关灯才能够最节省电。他每天都是在天亮时首先关掉自己所处位置的路灯,然后可以向左也可以向右去关灯。开始他以为先算一下左边路灯的总功率再算一下右边路灯的总功率,然后选择先关掉功率大的一边,再回过头来关掉另一边的路灯,而事实并非如此,因为在关的过程中适当地调头有可能会更省一些。
现在已知老张走的速度为1m/s,每个路灯的位置(是一个整数,即距路线起点的距离,单位:m)、功率(W),老张关灯所用的时间很短而可以忽略不计。
请你为老张编一程序来安排关灯的顺序,使从老张开始关灯时刻算起所有灯消耗电最少(灯关掉后便不再消耗电了)。
输入输出格式
输入格式:文件第一行是两个数字n(1<=n<=50,表示路灯的总数)和c(1<=c<=n老张所处位置的路灯号);
接下来n行,每行两个数据,表示第1盏到第n盏路灯的位置和功率。数据保证路灯位置单调递增。
输出格式:一个数据,即最少的功耗(单位:J,1J=1W·s)。
输入输出样例
5 3
2 10
3 20
5 20
6 30
8 10
270
说明
输出解释:
{此时关灯顺序为3 4 2 1 5,不必输出这个关灯顺序}
Solution:
本题是一道典型的区间$DP$问题。
首先考虑如何定义状态,很容易想到定义$f[i][j]$表示关掉$i-j$的路灯浪费的最小总功率。
但是由于题目中可以回走,关掉$i-j$的灯后,并不知道当前在$i,j$中的哪一点。
于是再加一维状态,将状态定义为$f[i][j][k],\;i,j\in [1,n],\;k\in [0\;or\;1]$,其中$k=0$表示关掉$i-j$的灯后在$i$点,$k=1$表示关掉$i-j$的灯后在$j$点。
再来考虑状态转移,为保证从局部最优扩展到整体最优,于是由小区间更新大区间,所以当前$f[i][j][0]$只与$f[i+1][j][0]$和$f[i+1][j][1]$有关,同理$f[i][j][1]$只与$f[i][j-1][1]$和$f[1][j-1][0]$有关。
但是转移时还要知道没有关闭的灯的功率消耗,于是令前缀和$s_i$表示前$i$个灯的总功率,则除开$i-j$的灯,其余的灯的消耗为$s_i+(s_n-s_j)$,其中$s_i$表示前$i$盏灯的功率消耗,$s_n-s_j$表示$j$后面的灯的功率消耗。
不难想到状态转移方程:
$\left\{\begin{matrix}
f[i][j][0]=min(f[i+1][j][0]+(a[i+1].pos-a[i].pos)*(s[i]+s[n]-s[j]),f[i+1][j][1]+(a[j].pos-a[i].pos)*(s[i]+s[n]-s[j]))\\
\quad \;f[i][j][1]=min(f[i][j-1][0]+(a[j].pos-a[i].pos)*(s[i-1]+s[n]-s[j-1]),f[i][j-1][1]+(a[j].pos-a[j-1].pos)*(s[i-1]+s[n]-s[j-1]))\\
\end{matrix}\right.$
最后不要忘了初始化,很简单,由于要取最小值,所以先将$f$初值赋为无穷大,再考虑状态的定义和给出的出发点$c$,则$f[c][c][0]=f[c][c][1]=0$(表示在$c$点直接关掉第$c$盏灯,不需要耗费时间瞬时功率为$0$,停在了$c$点)。
实现时,最外层枚举区间长度($k\in [1,n]$),内层枚举区间起始点($i\in [1,n]$),注意判断区间是否越界,时间复杂度$O(n^2)$。
输出目标状态$min(f[1][n][0],f[1][n][1])$(由于不知道关完$1-n$盏灯后停在$1$点还是$n$点,所以取最小值)
代码:
#include<bits/stdc++.h> #define il inline #define ll long long using namespace std; int n,c,f[55][55][2],s[55]; struct point{int pos,w;}a[55]; int main() { ios::sync_with_stdio(0); cin>>n>>c; for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i].pos>>a[i].w,s[i]=s[i-1]+a[i].w; memset(f,0x3f,sizeof(f)); f[c][c][0]=f[c][c][1]=0; for(int k=1;k<=n;k++) for(int i=1;i+k<=n;i++){ int j=i+k; f[i][j][0]=min(f[i+1][j][0]+(a[i+1].pos-a[i].pos)*(s[i]+s[n]-s[j]),f[i+1][j][1]+(a[j].pos-a[i].pos)*(s[i]+s[n]-s[j])); f[i][j][1]=min(f[i][j-1][0]+(a[j].pos-a[i].pos)*(s[i-1]+s[n]-s[j-1]),f[i][j-1][1]+(a[j].pos-a[j-1].pos)*(s[i-1]+s[n]-s[j-1])); } cout<<(min(f[1][n][0],f[1][n][1])); return 0; }
以上是关于P1220 关路灯的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章