树形背包

Posted 2020-10-31 CaptainLi

原题为HDU1561 The more，The better

Problem Description

ACboy很喜欢玩一种战略游戏，在一个地图上，有N座城堡，每座城堡都有一定的宝物，在每次游戏中ACboy允许攻克M个城堡并获得里面的宝物。但由于地理位置原因，有些城堡不能直接攻克，要攻克这些城堡必须先攻克其他某一个特定的城堡。你能帮ACboy算出要获得尽量多的宝物应该攻克哪M个城堡吗？

 

Input

每个测试实例首先包括2个整数，N,M.(1 <= M <= N <= 200);在接下来的N行里，每行包括2个整数，a,b. 在第 i 行，a 代表要攻克第 i 个城堡必须先攻克第 a 个城堡，如果 a = 0 则代表可以直接攻克第 i 个城堡。b 代表第 i 个城堡的宝物数量, b >= 0。当N = 0, M = 0输入结束。

 

Output

对于每个测试实例，输出一个整数，代表ACboy攻克M个城堡所获得的最多宝物的数量。

 

Sample Input

3 2

0 1

0 2

0 3

7 4

2 2

0 1

0 4

2 1

7 1

7 6

2 2

0 0

 

Sample Output

5

13

这道题有两种算法，第一种算法是O（nw^2）的，就是直接在树上dp，之后枚举每一个节点，枚举每一个节点取得最大体积和当前取得的体积，就可以。

不过我们今天来说一下O(nw)的算法，因为普通的背包是可以线性解题的，这样才能达到二维的时间复杂度，那么我们怎么把一棵树转化为线性问题求解呢？

我们可以先求这棵树的dfs序，之后记录每一个点的子树大小，之后像正常dp一样讨论取或不取即可。

if(j+1<=m) dp[i+1][j+1] = max(dp[i+1][j+1],dp[i][j]+w[seq[i]]);
            dp[i+size[seq[i]]][j] = max(dp[i+size[seq[i]]][j],dp[i][j]);

第一行是取，第二行是不取，其中dp[i][j]表示在dfs序中到第i个节点已经用了j个体积所能获得的最大价值。因为这道题攻陷每个城堡所用的消耗固定为1，所以直接+1就可以。

不过这题并不是直接照抄dp转移方程就可以！这里有好多需要注意的事情。

第一个，我们在树形dp转化为线性问题的时候，要注意一个状态是不可以凭空生成的，也就是说我们不能在没有取父节点的情况下直接选取子节点，这会对第一行代码产生极大的影响，所以我们开一个vis数组以记录这种状态是否被取过，如果被取过的话我们就可以继续dp，否则不可以。

第二个，注意子树大小是怎么计算的……他是算自己的。所以我们递归的时候应该先把每个节点初始化为1，之后（我用的是链前）直接把其所有子节点的子树大小加起来就可以了。

第三个是dfs序的问题，这里一定要注意i表示dfs序中到第i个点，所以dfs序从0还是1开始存将会有至关重要的影响。在代码里我是从1开始存并从1开始dp，所以最后我们只要去dp[tot][m]就可以，其他情况需要视情况而定，如果实在不行的话自己打表分析一下。

这样就可以过了……要注意的东西挺多的，而且HDU不提供数据点debug很难受……

最后上代码。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<queue>
#define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--)
#define enter putchar(‘\n‘)
#define M 2005
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 2147483647;
struct node
{
    int next,to;
}edge[M];
int n,dp[M][M],head[M],size[M],cnt,tot,ans,m,seq[M],w[M];
bool vis1[M][M];
int read()
{
    int ans = 0,op = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘)
    {
        if(ch == ‘-‘) op = -1;
        ch = getchar();
    }
    while(ch >= ‘0‘ && ch <= ‘9‘)
    {
        ans *= 10;
        ans += ch - ‘0‘;
        ch = getchar();
    }
    return ans * op;
}
void init()
{
    memset(edge,0,sizeof(edge));
    memset(head,0,sizeof(head));
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    memset(size,0,sizeof(size));
    memset(seq,0,sizeof(seq));
    memset(w,0,sizeof(w));
    memset(vis1, 0, sizeof(vis1));
    cnt = 0,tot = 0;
}
void add(int x,int y)
{
    edge[++cnt].next = head[x];
    edge[cnt].to = y;
    head[x] = cnt;
}
void build()
{
    rep(i,1,n)
    {
        int x = read();
        int y = read();
        add(x,i);
        w[i] = y;
    }
}
void dfs(int x)
{
    seq[tot++] = x; size[x] = 1;
    for(int i = head[x];i;i = edge[i].next)
    {
        int v = edge[i].to;
        dfs(v);
        size[x] += size[v];
    }
} 
void DP()
{
    vis1[1][0] = 1;
    rep(i,1,tot + 1)
    rep(j,0,n)
    {
        if(vis1[i][j])
        {
            if(j+1<=m) dp[i+1][j+1] = max(dp[i+1][j+1],dp[i][j]+w[seq[i]]);
            dp[i+size[seq[i]]][j] = max(dp[i+size[seq[i]]][j],dp[i][j]);
            vis1[i+1][j+1] = vis1[i+size[seq[i]]][j] = 1;
        }
    }
}
int main()
{
    while(1)
    {
        n = read(),m = read();
        if(!n && !m) break;
        init();
        build();
        dfs(0);
        DP();
        printf("%d\n",dp[tot][m]);
    }
    return 0;
}