阿基米德螺旋限制了我们对螺旋的想像

Posted 2020-10-31 windspiral

阿基米德螺旋中缺少了直线运动的另一半以及圆周运动的相关数据。

阿基米德螺旋限制了我们对螺旋的想像

2018-04-17 刘崇军 风螺旋线

准确的说，应该是：试途用阿基米德螺旋对大多数螺旋进行解释的做法限制了我们的想像，或者说，将阿基米德螺旋当做是螺旋研究终点的想法限制了我们的想像。

阿基米德螺旋本身绝对是跨时代的巨著，有着那个时代的显著特色，直到今天仍是我们学习的经典。然而，如同历史的车轮滚滚向前一样，我们不能仅仅停留在固有的认知之上，是时候开始沿着螺旋的轨迹继续前行了。

问题一 射线运行代替了直线运动

阿基米德螺旋中存在的第一个问题是：尽管在阿基米德螺旋的定义中提到了直线，但实际上只是画出了从原点出发的射线运动的轨迹。

         

               

图1 阿基米德螺旋

通过计算机软件对直线运动进行模拟，可以较容易的得到“完整”的螺旋结构，如图2所示：

图2 “完整”的阿基米德螺旋

从形态上来说“完整”的阿基米德螺旋是“轴对称图形”，它由两部分组成：曲线逐渐收缩的部分和曲线逐渐放大的部分，这两部分在运动形式上是统一的，都位于同一条直线上，并且是围绕同一个圆心旋转之下所产生的轨迹。

我们头脑中关于螺旋的认知，一直以来都是一段由较小的半径逐渐放大至一个较大半径的曲线。这样的认识来自于自然界的直观感受，甚至我们对“螺旋”的定义就是这样的曲线。

从直线运动与旋转运动的形式来说，阿基米德螺旋对于螺旋曲线的描述并不完整，造成了以局部代替整体的偏差。因此，关于螺旋曲线，第一个需要修正的理念是：通常我们所说的螺旋，仅是螺旋曲线的一个局部区间。

动点沿直线从无限远处运动至圆心，再向无限远处运动，其间直线一直围绕一个点进行旋转，动点所形成的轨迹就是“完整”的螺旋曲线。

“完整螺旋”的意义在哪里？

首先，螺旋曲线可以看成两部分，顺时针外扩部分与逆时针外扩部分，这两部分可以用统一的运动形式来进行描述。

其次，由于运动形式上的一致，所以不能根据外扩的方向分辨螺旋的真实运动方向，也就是说螺旋曲线是一种运动轨迹。

问题二 阿基米德螺旋忽视了基圆的存在

阿基米德螺旋中存在的第二个问题是：忽视了基圆的存在。

“基圆”是渐开线螺旋中的概念，渐开线中直线运动与基圆相切，阿基米德螺旋中的直线运动穿过圆心。

阿基米德螺旋中考虑了直线旋转与直线运动的关系，未曾考虑过旋转是和特定的圆周有关，进而忽略了直线与圆周的位置关系以及旋转方向、运动方向之间的关系等一系列的问题。

直线与圆周相切与底部，顺时针旋转一周，直线运动为从左向右，得到的曲线如下图所示：

图3渐开线螺旋

图3中直线运动的速度与圆周运动速度相同，因此，绘制出的螺旋线为渐开线螺旋。

逐渐提高直线的高度，直至与圆周顶部相切，绿色小球从左向右移动，圆周顺时针旋转，得到的叠加轨迹如下图所示：

逐渐降低直线的高度，直至与圆周底部相切，绿色小球从左向右移动，圆周逆时针旋转，得到的叠加轨迹如下图所示：

若从相同的起点，分别沿顺时针、逆时针旋转，得到的轨迹如下图所示：

若将以上曲线沿垂直的对称轴拆分成两半，将各自的旋转周期继续延伸，将会是我们常见的螺旋形状，所有这些螺旋虽然形态上有差异，但有一个共同特征就是同一个旋转周期内，外扩相同的距离，因此，可以将它们统称为等距螺旋。

未来的讨论中还将看到，等距螺旋并不仅仅只是匀速直线运动与匀速圆周运动的叠加，而是具有等速度比的特性，又可以称为等速度比螺旋。

在等距螺旋的框架下，阿基米德螺旋、渐开线螺旋、风螺旋三者是等距螺旋的典型特例，可以用相同的公式来进行描述，且具有相似的特性。未来我们将对此话题进行深入的讨论，敬请关注。

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本文相关螺旋的 flash版动画演示下载地址：

https://pan.baidu.com/s/1YJgOkUdSZmw2dP7nFAzVJw

 

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行业规范的进步很大程度上需要用基础理论研究的成果来推动，而基础理论很可能只是对一些运动形式的描述以及数学公式的推导。看似简单的现象中，实际上却包含了很多未曾深入分析的问题。这一次我们有机会对螺旋线进行重新的定义，最大的困难不是技术上的改变，而是我们每个人对已有认知的深度改变。