6.矩阵的特征和线性代数

Posted 2020-10-31 喵小喵~

　　下面介绍矩阵的一些基本操作,包括矩阵的特征值,三角阵,对角阵,矩阵的翻转等,以及矩阵的一些特性,例如矩阵的秩,矩阵的迹.最后介绍了矩阵的超越函数.

1　　方阵的行列式

1 clear all;
2 A=magic(3)
3 B=[1:3;2 5 7;3 8 7]
4 y1=det(A)
5 y2=det(B)

2　　特征值.特征向量和特征多项式

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2 A=magic(3)
3 %E是特征值
4 E=eig(A)
5 %V的每一列都是特征向量,D的对角线上是特征值
6 [V,D]=eig(A)

 1 clear all;
 2 %p是方程的系数
 3 p=[3 5 2 1]
 4 %求伴随矩阵
 5 A=compan(p)
 6 %求特征值,特征值就是根
 7 x1=eig(A)
 8 
 9 %用roots的方式求根
10 x2=roots(p)

3　　对角阵

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2 A=rand(3,4)
3 %提取矩阵A的主对角线元素,产生一个列向量
4 b1=diag(A)
5 %0是主对角线,1是往上一个的对角线
6 b2=diag(A,1)
7 %提取第2条对角线的元素组成一个列向量
8 b3=diag(A,2)

4　　上三角阵与下三角阵

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2 A=rand(3,3)
3 %上三角矩阵
4 B1=triu(A)
5 %下三角矩阵
6 B2=tril(A)
7 %右上有一个0的三角形
8 B3=tril(A,1)

5　　矩阵的逆和伪逆(广义逆矩阵)

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 2 A=magic(3)
 3 %两行两列
 4 B=[1 3;2 6]
 5 %求矩阵A的逆矩阵
 6 C=inv(A)
 7 %相乘为单位矩阵
 8 C*A
 9 %求逆矩阵(结果不存在)
10 inv(B)
11 %求广义逆矩阵
12 D=pinv(B)
13 %相乘结果为E
14 B*D*B

6　　矩阵的秩

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2 A=magic(3)
3 B=[1 2 4;2 3 5;2 4 8]
4 %求秩
5 r1=rank(A)
6 r2=rank(B)

7　　矩阵的迹

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2 A=magic(3)
3 %求迹
4 t1=trace(A)
5 %矩阵的特征值
6 eig(A)
7 %矩阵特征值的和
8 t2=sum(eig(A))

8　　矩阵的标准正交基

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2 A=[1 2 3;3 5 7;9 5 8]
3 B=magic(3)
4 %求A的标准正交基
5 C=orth(A)
6 D=orth(B)
7 %正交基的转置乘以正交基是单位向量
8 C\'*C

9　　LU分解

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 2 A=[ 2 3 4;8 4 9;5 3 1]
 3 %lu分解
 4 [L1,U1]=lu(A)
 5 %验证
 6 L1*U1
 7 
 8 %L2下三角矩阵 U2上三角矩阵 P置换矩阵
 9 [L2,U2,P]=lu(A)
10 %下三角矩阵和上三角矩阵合并在矩阵Y中
11 Y1=lu(A)
12 Y2=L2+U2-eye(size(A))

10　　QR分解

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2 A=[ 2 3 4;8 4 9;5 3 1]
3 %QR分解Q正交阵,R1上三角矩阵
4 [Q1,R1]=qr(A)
5 
6 B=[1 2 3 4;3 5 6 2;3 6 9 12]
7 %正交分解
8 [Q2,R2]=qr(B)
9 Q2*R2