[JZOJ 5669] Permutaition

Posted 2020-10-31 wendavid

这个网络流的建模非常妙，我是按照之前做过的某个题目来想的

题意

有\(n\)个数 \(x_1\cdots x_n\) 。你需要找出它们的一个排列，满足\(m\)个条件，每个条件形如\(x_a\)必须在\(x_b\)之前。在此基础上，你要最大化这个排列的最大子段和。
\(1\leq n\leq 500\)，\(1\leq m \leq 1000\)，\(1\leq |x_i|\leq 1000\)

分析

看数据范围猜算法，一看就知道是网络流

首先，我们考虑最终选择的是一个最终合法排列中连续的一段，我们先假定全部正数都被选了，负数都没选，那么我们接下来就考虑当前的这个约束会给我们什么样的影响。

调整当前我们的选择，有三种策略，即某一条链上的正数被挤到前面而选不到；挤到后面而选不到；在中间（序列中的位置）选出一个负数，这三种都会让答案减小。

考虑这样建图：拆点，对于所有正数，因为考虑到是“放弃”，那我们拆点，然后起点终点分别连边（即起点连一个，终点连一个）。对于所有负数，我们对于拆出来两个点之间连上一条为这个数绝对值的边。对于所有限制，我们只需要直接连上两条（拆点的分别两条）流量无穷的边就行了。

实际上来说，正确性要看出也是不难的，最主要是这个用操作和限制来连边建图的方式很骚……

# include <bits/stdc++.h>
# define mem(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
# define reg(i,x) for(int i=last[x];i;i=e[i].nxt)
# define INF 100000010
# define il inline
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 10010;
struct edge{ int to,nxt,v; } e[maxn<<1]; int c=0;
int last[maxn];
int S,T;
il void insert(int u,int v,int w){
    e[++c] = (edge){v,last[u],w}; last[u]=c;
    e[++c] = (edge){u,last[v],0}; last[v]=c;
}
int q[maxn],h[maxn];
il bool bfs(){
    int head=0,tail=1,now;
    mem(h,-1); q[0]=S; h[S]=0;
    while (head<tail){
        now=q[head++];
        reg(i,now)
            if (e[i].v&&h[e[i].to]==-1) h[e[i].to]=h[now]+1,q[tail++]=e[i].to;
    }
    return h[T]!=-1;
}
il int dfs(int x,int f){
    if (x == T) return f;
    int w,used = 0;
    reg(i,x)
        if (e[i].v && h[e[i].to]==h[x]+1){
            w=dfs(e[i].to,min(f-used,e[i].v));
            e[i].v-=w; e[i^1].v+=w;
            used+=w; if (used == f) return f;
        }
    if (!used)h[x]=-1;
    return used;
}
ll ans = 0;
void dinic(){while(bfs())ans-=dfs(S,INF);}
int n,m;
int main(){
    freopen("permutation.in","r",stdin);
    freopen("permutation.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m); S=0; T=n<<2|1;
    for (int i=1;i<=n;++i){
        int x; scanf("%d",&x);
        if (x>0){
            ans+=x;
            insert(S,i+i+1,x);
            insert(i+i+2,T,x);
        } else insert(i+i+1,i+i+2,-x);
    }
    for (int i=1;i<=m;++i){
        int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);
        insert(u+u+1,v+v+1,INF);
        insert(u+u+2,v+v+2,INF);
    }
    dinic();
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}