图的割点算法图的割边算法

Posted 2020-10-31 sunbines

割点算法

• 在一个无向连通图中，如果删除某个顶点后，图不再连通（即任意两点之间不能相互到达），我们称这样的顶点为割点（或者称割顶）。

判断一个顶点是不是割点除了从定义，还可以从DFS（深度优先遍历）的角度出发。我们先通过DFS定义两个概念。

假设DFS中我们从顶点U访问到了顶点V（此时顶点V还未被访问过），那么我们称顶点U为顶点V的父顶点，V为U的孩子顶点。在顶点U之前被访问过的顶点，我们就称之为U的祖先顶点。

显然如果顶点U的所有孩子顶点可以不通过父顶点U而访问到U的祖先顶点，那么说明此时去掉顶点U不影响图的连通性，U就不是割点。相反，如果顶点U至少存在一个孩子顶点，必须通过父顶点U才能访问到U的祖先顶点，那么去掉顶点U后，顶点U的祖先顶点和孩子顶点就不连通了，说明U是一个割点。

上图中的箭头表示DFS访问的顺序（而不表示有向图），对于顶点D而言，D的孩子顶点可以通过连通区域1红色的边回到D的祖先顶点C（此时C已被访问过），所以此时D不是割点。

上图中的连通区域2中的顶点，必须通过D才能访问到D的祖先顶点，所以说此时D为割点。再次强调一遍，箭头仅仅表示DFS的访问顺序，而不是表示该图是有向图。

这里我们还需要考虑一个特殊情况，就是DFS的根顶点（一般情况下是编号为0的顶点），因为根顶点没有祖先顶点。其实根顶点是不是割点也很好判断，如果从根顶点出发，一次DFS就能访问到所有的顶点，那么根顶点就不是割点。反之，如果回溯到根顶点后，还有未访问过的顶点，需要在邻接顶点上再次进行DFS，根顶点就是割点。

 

Tarjan算法的实现细节

在具体实现Tarjan算法上，我们需要在DFS（深度优先遍历）中，额外定义两个数组dfn[]，low[]。

 

4.1 num数组
num数组的下标表示顶点的编号，数组中的值表示该顶点在DFS中的遍历顺序(或者说时间戳)，每访问到一个未访问过的顶点，访问顺序的值（时间戳）就增加1。子顶点的num值一定比父顶点的num值大（但不一定恰好大1，比如父顶点有两个及两个以上分支的情况）。在访问一个顶点后，它的dfn的值就确定下来了，不会再改变。

 

4.2 low数组

low数组的下标表示顶点的编号，数组中的值表示DFS中该顶点不通过父顶点能访问到的祖先顶点中最小的顺序值（或者说时间戳）。

每个顶点初始的low值和dfn值应该一样，在DFS中，我们根据情况不断更新low的值。

假设由顶点U访问到顶点V。当从顶点V回溯到顶点U时，

如果

num[v] < low[u]

那么

low[u] = num[v]

如果顶点U还有它分支，每个分支回溯时都进行上述操作，那么顶点low[u]就表示了不通过顶点U的父节点所能访问到的最早祖先节点。

 

4.4 一个具体的例子

现在我们来看一个例子，模仿程序计算各个顶点的num值和low值。下图中蓝色实线箭头表示已访问过的路径，无箭头虚线表示未访问路径。已访问过的顶点用黄色标记，未访问的顶点用白色标记，DFS当前正在处理的顶点用绿色表示。带箭头的蓝色虚线表示DFS回溯时的返回路径。

 

基本思路：

假如我们在dfs时访问到了u点，此时图就会被u点分割成为两部分。一部分是已经被访问过的点，另一部分是没有被访问过的点。如果u点是割点，那么剩下的没有被访问过的点中至少有一个点在不经过u点的情况下，是无论如何再也回不到已经访问过的点了。假如到了u后，图中还有顶点v是没有访问过的点，如何判断v在不经过u的情况下是否还能回到之前访问过的任意一个点？u是v的父亲，而之前访问过的顶点就是祖先。也就是如何检测v在不经过父亲u的情况下还能否回到祖先。那就是对v再进行一次dfs，但此次遍历不经过u，看能否回到祖先。不能u即为割点。

 

我们需要一个数组low来记录每个顶点在不经过父顶点时，能够回到的最小“时间戳”。

对于某个顶点u，如果存在至少一个顶点v（u的儿子），使得low[v]>=num[u]，即不能回到祖先，那么u点为割点。

 参考资料

[1] 小地盘, 图的割点算法vs割边算法
[2] Trent, 求无向图联通图的割点
[3] GeeksforGeeks, Articulation Points (or Cut Vertices) in a Graph.