洛谷P1447 - [NOI2010]能量采集

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给出\\(n,m(n,m\\leq10^5),\\)计算$$ \\sum_{i=1}^n \\sum_{j=1}^m (2gcd(i,j)-1)$$

Solution

简单起见我们来钦定\\(n\\leq m\\),然后计算\\(\\sum_{i=1}^n \\sum_{j=1}^m gcd(i,j)\\)

\\[ans = \\sum_{i=1}^n \\sum_{j=1}^m gcd(i,j) = \\sum_{d=1}^n d\\sum_{i=1}^n \\sum_{j=1}^m [gcd(i,j)=d]$$根据[洛谷P2522](http://www.cnblogs.com/VisJiao/p/LgP2522.html),变换为 $$ ans = \\sum_{d=1}^n d \\sum_{k=1}^{⌊\\frac{n}{d}⌋} \\mu(k)⌊\\frac{n}{kd}⌋⌊\\frac{m}{kd}⌋ $$然后我们就可以计算了。 > 时间复杂度$O(n\\sqrt n)$。 ##Code ```cpp //[NOI2010]能量采集 #include <algorithm> #include <cstdio> using std::min; using std::swap; typedef long long lint; int const N=1e5+10; int n,m; int mu[N],pre[N]; int cntP,pr[N]; bool notP[N]; void init(int n) { mu[1]=1; for(lint i=2;i<=n;i++) { if(!notP[i]) pr[++cntP]=i,mu[i]=-1; for(int j=1;j<=cntP;j++) { lint x=pr[j]*i; if(x>n) break; notP[x]=true; if(i%pr[j]) mu[x]=-mu[i]; else {mu[x]=0; break;} } } for(int i=1;i<=n;i++) pre[i]=pre[i-1]+mu[i]; } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); if(n>m) swap(n,m); init(m); lint ans=0; for(int g=1;g<=n;g++) { int n0=n/g,m0=m/g; lint res=0; for(int L=1,R;L<=n0;L=R+1) { int v1=n0/L,v2=m0/L; R=min(n0/v1,m0/v2); res+=1LL*v1*v2*(pre[R]-pre[L-1]); } ans+=res*g; } printf("%lld\\n",ans*2-1LL*n*m); return 0; } ```\\]

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