矩阵快速幂模板

Posted 2020-10-31 努力努力再努力x

第一部分：矩阵的基础知识

1.结合性 （AB)C=A(BC）．

2.对加法的分配性 （A+B)C=AC+BC，C(A+B）=CA+CB ．

3.对数乘的结合性 k(AB）=（kA)B =A(kB）．

4.关于转置 (AB)‘=B‘A‘．

一个矩阵就是一个二维数组，为了方便声明多个矩阵，我们一般会将矩阵封装一个类或定义一个矩阵的结构体，我采用的是后者。（弱鸡的我也直只会用结构体实现）

 

第二部分：矩阵相乘

若A为n×k矩阵，B为k×m矩阵，则它们的乘积AB(有时记做A·B)将是一个n×m矩阵。前一个矩阵的列数应该等于后一个矩阵的行数，得出的矩阵行数等于前一个矩阵的行数，列数等于后一个矩阵的行数。

其乘积矩阵AB的第i行第j列的元素为：

 

举例：A、B均为3*3的矩阵：C=A*B，下面的代码会涉及到两种运算顺序，第一种就是直接一步到位求，第二种就是每次求一列，比如第一次，C00+=a00*b00,C01+=a00*b01……第二次C00+=a00*b10，C01+=a01*b11……以此类推。。。

C00 = a00*b00 + a01*b10 + a02*b20
C01 = a00*b01 + a01*b11 + a02*b21 
C02 = a00*b02 + a01*b12 + a02*b22
C10 = a10*b00 + a11*b10 + a12*b20
C11 = a10*b00 + a11*b11 + a12*b21
C12 = a10*b02 + a11*b12 + a12*b22
C20 = a20*b00 + a21*b10 + a22*b20
C21 = a20*b01 + a21*b11 + a22*b21
C22 = a20*b02 + a21*b12 + a22*b22

第三部分：矩阵快速幂   //其实和普通快速幂类似，只不过这里需要得到的是一个矩阵

神马是幂？【很多时候会被高大上的名字吓到。。。导致学习效率降低。。。其实没辣么可怕，很简单！！！】

幂又称乘方。表示一个数字乘若干次的形式,如n个a相乘的幂为a^n ，或称a^n为a的n次幂。a称为幂的底数，n称为幂的指数。——引自.度娘百科

这类题，指数都是很大很大很大很大很大很大很大的。。。霸王硬上弓的话，很容易超时的 T_T 。。。所以得快速幂→_→

学过之后发现，其实矩阵快速幂 的核心思想跟 以前学过的快速幂取模非常非常相似，只是矩阵乘法需要另外写个函数，就是上面那个代码。。。

 

快速幂的思路就是：

设A为矩阵，求A的N次方，N很大，1000000左右吧。。。

先看小一点的，A的9次方

A^9

= A*A*A*A*A*A*A*A*A  【一个一个乘，要乘9次】

= A*(A*A)*(A*A)*(A*A)*(A*A)【保持格式的上下统一，所以加上这句】

 = A*(A^2)^4 【A平方后，再四次方，还要乘上剩下的一个A，要乘6次】

= A*((A^2)^2)^2【A平方后，再平方，再平方，还要乘上剩下的一个A，要乘4次】

也算是一种二分思想的应用吧，1000000次幂，暴力要乘1000000次，快速幂就只要（log2底1000000的对数） 次，大约20次。。。这。。。我没错吧。。。

 

 单位矩阵： n*n的矩阵 mat ( i , i )=1; 任何一个矩阵乘以单位矩阵就是它本身 n*单位矩阵=n， 可以把单位矩阵等价为整数1。（单位矩阵用在矩阵快速幂中）

 

例如下图就是一个7*7的单位矩阵：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int maxn = 100 + 10;
 4 int MOD;
 5 struct Mat
 6 {
 7     int a[maxn][maxn];
 8     int n, m;//n为行数，m为列数
 9     Mat(int n, int m):n(n), m(m)
10     {
11         memset(a, 0, sizeof(a));
12     }
13     void init()
14     {
15         for(int i = 0; i < n; i++)a[i][i] = 1;//初始化成单位矩阵
16     }
17     void output()
18     {
19         for(int i = 0; i < n; i++)
20         {
21             for(int j = 0; j < m; j++)
22             {
23                 cout<<a[i][j]<<" ";
24             }
25             cout<<endl;
26         }
27     }
28 };
29 Mat mul(Mat a, Mat b)//矩阵乘法
30 {
31     Mat tmp(a.n, b.m);//矩阵乘法结果矩阵行数为a的行数，列数为b的列数
32     for(int i = 0; i < a.n; i++)
33     {
34         for(int j = 0; j < b.m; j++)
35         {
36             for(int k = 0; k < a.m; k++)//a.m == b.n(乘法的前提条件)
37             {
38                 tmp.a[i][j] += (a.a[i][k] * b.a[k][j] % MOD);
39                 tmp.a[i][j] %= MOD;
40             }
41         }
42     }
43     return tmp;
44 }
45 Mat pow(Mat a, int n)
46 {
47     Mat tmp(a.n, a.m);
48     tmp.init();
49     while(n)
50     {
51         if(n & 1)tmp = mul(tmp, a);
52         n /= 2;
53         a = mul(a, a);
54     }
55     return tmp;
56 }