递归的入门介绍

Posted 2020-10-31

这是一只海龟，但小程要介绍的是递归。

递归是一种很重要的结构与设计思想。之所以重要，是因为读者经常会遇到递归结构，或递归算法。而为了解决某些问题，递归的设计思想有时很有效果。

本文介绍递归的设计与实现。

小程先介绍递归的表现，再介绍怎么理解递归、实现递归，最后再举一些使用递归算法的例子。

（一）递归的表现

有递，有归，才为递归。

日常生活中，有很多递归或不完整递归的表现。比如下面这些：

1. 和尚讲故事

   从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，老和尚给小和尚讲故事，讲的是从前有座山。。。。

2. 沙滩是怎么形成的

   A：沙堆是怎么形成的？
   B：沙堆是一个沙堆加上一粒沙。
   A：那这一个沙堆是怎么形成的？
   B：这一个沙堆是一个沙堆加上一粒沙。
   A：...

3. 吓得我
   

4. 递归函数

   f(x) = g(f(x-1))

5. 巧妙的衣服
   

6. 谣言成真，那还算造谣吗？

   上海一男子因造谣称自己因造谣而被拘留15日而被拘留15日。

7. 洋葱的构成

   一个洋葱就是带着一层洋葱皮的洋葱。

8. 转发通知
   

这些例子可以看到递归的影子，可以感受到递归的一个特点就是“嵌套”，一层套一层，层层新。

（二）理解递归

递归的表现是调用自己。

之所以能调用自己，是因为子问题也能用原问题的解决办法。

递归的设计，就是把问题分解成更小的问题，而且更小的问题也能用原问题的解决办法。在问题规模足够小的时候，把它解决掉，再层层返回，层层组合。

设计递归算法，需要能从大到小、从全局到局部地去想问题。

有时，先假设这个算法已经能解决此类问题，再让同构的问题大胆调用这个算法。

（三）实现递归

实现递归时，有几个要点可以考虑。

一是如何调用到自己，也就是如何让第二层调用到第一层。

二是在什么时候结束递归。

三是每一层递归返回时需要处理什么。

小程觉得，读者可以在实战中去参透这几个要点，或者总结出自己的要点（或技巧）。下面就举一些例子，并用递归的算法来实现。

（四）示例

这里，小程不考虑性能的问题，只展示怎么设计递归算法。

问题1：输入数字n，打印出1到n的所有数字。

主体：要打印1到n，那先打印1到n-1，再打印一个n就可以了。这个就是主体，只考虑n跟n-1。
结束：在n为1时打印并结束递归。

代码示例：

void pr(int n) {
    if (n == 1) {
        printf("1\n");
        return;
    }
    pr(n-1);
    printf("%d\n", n);
}

效果：

问题2：输出“我当然知道 我知道 我知道 我知道 ...我是个sb 这件事 这件事...这件事”，输入n来控制次数。

主体：把“我当然知道”放在递归函数外，因为它不符合同构的原则。先输出“我知道”，再递归到下一层即可。
结束：在递减到0时，结束递归。
收尾：在递归返回后，输出“这件事”。

代码示例：

#include <stdio.h>

void pr(int n) {
    if (n == 0) {
        printf("[我是sb]");
        return;
    }
    printf("我知道[");
    pr(n-1);
    printf("这件事]");
}

int main(int argc, char *argv[])
{
    printf("我当然知道{");
    pr(10);
    printf("}\n");
    return 0;
}

效果：

问题3：求二叉树的高度（最长路径）。

主体：左子树与右子树的高度的最大值，加1就是当前树的高度。
结束：没有子树了。

代码示例：

int treeHeight(struct TreeNode* root) {
    if (!root) return 0;
    int left = treeHeight(root->left);
    int right = treeHeight(root->right);
    return MAX(left, right) + 1;
}

问题4：求数组中的最大值与最小值。

演示代码：

#include <iostream>
using namespace std;

template<typename T>
void max_min( T a[], int low, int high, T & max, T & min)
{
    if ( low == high )  // 只有一个元素不再划分
    {
        max = min = a[low];
        return;
    }
    else if ( low == high -1 )  // 只有两上元素不再划分
    {
        if ( a[low] < a[high] )
        {
            max = a[high];
            min = a[low];
        }
        else
        {
            max = a[low];
            min = a[high];
        }
        return;
    }

    int mid = (low + high) / 2;
    T  max_another;
    T  min_another;
    max_min( a, low, mid, max, min );  
    max_min( a, mid+1, high, max_another, min_another );

    if ( max < max_another )
        max = max_another;
    if ( min > min_another )
        min = min_another;
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    double a[5] = {23.23, 23.45, .3, -89.3, -2.1};
    double max, min;
    max_min<double>( a, 0, 4, max, min );
    cout << "max: " << max << " min: " << min << endl;

    return 1;
}

最后，小程再提一下递归的深度。

每次递归调用都意味着部分数值压入栈中（比如系统维护的下压栈），这是跟迭代的区别。在迭代中每次循环结束时所有局部变量都获得释放，而递归却会不断累计，所以使用递归算法必须考虑它的深度，考虑是否会造成栈溢出，与及对效率造成的影响。

另外，每一次递归调用，问题的规模都应该有所减少，并最终达到终止条件的要求，从而结束递归调用。

至此，递归的入门介绍完毕了。

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总结一下，本文介绍了递归的表现、递归的理解与设计，最后举了几个例子并用递归的思路来实现。递归是一个重要的思考问题的思路，希望本文能帮到读者理解这种思路。