数学竞赛

Posted 2020-10-31 RogerDTZ

　　

Sample Input

　　
　　
　　111111000
　　1/2
　　
　　

Sample Output

　　
　　63616161
　　
　　
　　

Solution

　　
　　? 前面两个子任务非常容易构造。
　　
　　? 第三个子任务比较简单，而且非常关键。不断使用7、8操作，我们一定可以凑出任意一种分数\(\frac pq\)。反过来考虑怎么从\(\frac pq\)变为\(\frac 01\)：如果分子比分母大，则一直减去分母。随后若分子为0，则达到目标并退出，否则取一个倒数，重复上述步骤，即：
　　

void work(int p,int q){
    while(p>=q) p-=q;
    if(p==0) return; //Done
    work(q,p);
}

　　
?　　 然而我们发现后面的任务中7操作和8操作是禁用的，这个方法无法解决后面的问题。与其形成对比，前6个操作却是一直可用。考虑能否用前6个操作强行凑出7~9操作。
　　
?　　 首先看对一个角度\(x\)取余变为\(90^\circ-x\)，等价于对\(x\)先取\(sin\)，再取\(cos^{-1}\)。
　　
?　　 然后看回题目中的操作：
　　
　　? 8: 对一个长度\(x\)取倒数变为\(\frac 1x\)，等价于对\(x\)先取\(tan^{-1}\)，再取余，最后取\(tan\)。
　　
　　? 9: \(x\rightarrow\sqrt{x^2+1}\)等价于对\(x\)依次取\(tan^{-1}\)，\(cos\)，最后取倒数。这一个操作用\(tan\)的三角函数线转换一下就可以得出。
　　
　　? 但是7操作凑不出来，9操作又引入新的根号，很麻烦，不可以直接套用回子任务三的解法，怎么做？
　　　
?　　 发现9操作有个很神奇的变式：\(\sqrt x \rightarrow\sqrt{(\sqrt x)^2+1}=\sqrt{x+1}\)，如果我们在根号的意义下考虑，这就相当于7操作！
　　
?　　 问题变为我有一个终止状态\(\frac {\sqrt{p^2}}{\sqrt{q^2}}=\sqrt{\frac {p^2}{q^2}}\)，并且可以使用两种操作：分子加上分母、分子与分母互换。这个做法和子任务三完全一致，直接套用即可。
　　
　　? 所以我的脑洞能力和敏感度还是太差了。
　　

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
char tmp233[10];
inline int getInt(){
    char c=getchar(); int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while('0'<=c&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
void dfs(int p,int q){
    int t7=0;
    while(p>=q) p-=q,t7++;
    if(p) dfs(q,p),printf("6145");
    while(t7--) printf("636145");
}
int main(){
    freopen("input.in","r",stdin);
    scanf("%s",tmp233);
    int p=getInt(),q=getInt();
    if(!p){return 0;}
    dfs(p*p,q*q);
    return 0;
}