一些数学上的名词及操作

Posted 2020-10-31 Kananix

数论分块：                                              

大致就是求类似于$ \sum\limits_{i=1}^m \left\lfloor\frac{m}{i}\right\rfloor$的值的方法

首先发现$ \left\lfloor\frac{m}{i}\right\rfloor$最多只有$ 2*\sqrt{m}$种取值

观察到对于i，$ \left\lfloor\frac{m}{\left\lfloor\frac{m}{i}\right\rfloor}\right\rfloor$ 是n除i下取整的相同取值的最右位置。

那么只要每次跳到当前取值的最靠右位置，计算这个值的贡献，然后跳到下一个取值的最左位置(即之前的最右位置+1)，不断做下去即可

复杂度$ O(\sqrt{m})$

 

积性函数：                                               

即满足$ f(1)=1$   $ f(xy)=f(x)f(y)$   $ (gcd(x,y)==1)$的函数

积性函数一定是数论函数，即自变量一定为正整数

常见积性函数:

$ id(i)=i$

$ id_k(i)=i^k$

$ 1(i)=1$

$ e(1)=1, e(n)=0 (n>1)$

$ \mu$(莫比乌斯函数)

$ \phi$(欧拉函数)

$ d(i)=\sum\limits_{d|i} 1$ (约数个数)

$ σ(i)=\sum\limits_{d|i} d$ (约数和)

 

狄利克雷卷积：                                           

对于两个积性函数$ f$和$ g$，卷积结果为函数$ h$，则有

$ h(i)=\sum\limits_{d|i}f(i)g({i\over d})$

狄利克雷卷积满足交换律

不难发现卷积结果$ h$也是一个积性函数

以下用$ *$代替狄利克雷卷积，即$ f*g$ 就是$ f$和$ g$的狄利克雷卷积结果

 

积性函数的性质：                                          

$ e$为单位元，即任何积性函数与$ e$的狄利克雷卷积的结果均等同于自身

由$ e(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)$ (莫比乌斯函数的性质)可得

$ e=1*\mu$

 

由$ n=\sum\limits_{d|n}φ(d)$ (欧拉函数的性质)可得

$ id=φ*1$

 

由以上两条加上狄利克雷卷积的性质可得

$ φ=\mu*id$

也就是$ φ(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d){n\over d}$