floyd算法之最小环问题

Posted 2020-10-31 Butterflier

最小环问题：都比较容易得到从u 到 v 经过中间某一些结点的最短路，但是我们得确保回来的时候，不能经过那些结点，这样我们就需要改一下floyd算法了

进而我们想到用Floyd算法。我们知道，Floyd算法在进行时会不断更新矩阵dist(k)。设dist[k，i，j]表示从结点i到结点j且满足所有中间结点，它们均属于集合{1，2，? ，k}的一条最短路径的权。其中dist[0,i,j ]即为初始状态i到j的直接距离。对于一个给定的赋权有向图， 求出其中权值和最小的一个环。我们可以将任意一个环化成如下形式：u->k->v ->(x1-> x2-> ? xm1)-> u(u与k、k与v都是直接相连的)，其中v ->(x1-> 2-> ? m)-> u是指v到u不经过k的一种路径。

        在u，k，v确定的情况下，要使环权值最小， 则要求 (x1一>x2->?一>xm)->u路径权值最小．即要求其为v到u不经过k的最短路径，则这个经过u，k，v的环的最短路径就是：[v到u不包含k的最短距离]+dist[O，u，k]+dist[O，k，v]。我们用Floyd只能求出任意2点间满足中间结点均属于集合{1，2，?  ，k}的最短路径，可是我们如何求出v到u不包含k的最短距离呢?
         现在我们给k加一个限制条件：k为当前环中的序号最大的节点(简称最大点)。因为k是最大点，所以当前环中没有任何一个点≥k，即所有点都<k。因为v->(x1->x2->......xm)->u属于当前环，所以x1，x2，? ，xm<k，即x1，x2．?。xm≤k一1。这样，v到u的最短距离就可以表示成dist[k一1 ,u,v]。dist[k一1,v,u]表示的是从v到u且满足所有中间结点均属于集合{1，2，?  ，k一1}的一条最短路径的权。接下来，我们就可以求出v到u不包含k的最短距离了。这里只是要求不包含k，而上述方法用的是dist[k一1，v，u]，求出的路径永远不会包含k+l，k+2，? 。万一所求的最小环中包含k+1，k+2，? 怎么办呢?的确，如果最小环中包含比k大的节点，在当前u,k,v所求出的环显然不是那个最小环。然而我们知道，这个最小环中必定有一个最大点kO，也就是说，虽然当前k没有求出我们所需要的最小环，但是当我们从k做到kO的时候，这个环上的所有点都小于kO了．也就是说在k=kO时一定能求出这个最小环。我们用一个实例来说明：假设最小环为1—3—4—5—6—2—1。的确，在u=l，v=4，k=3时，k<6，dist[3，4，1]的确求出的不是4—5—6—2—1这个环，但是，当u=4，v=6，k=5或u=5，v=2，k=6时，dist[k，v，u]表示的都是这条最短路径.所以我们在Floyd以后，只要枚举u．v，k三个变量即可求出最小环。时间复杂度为O(n3)。我们可以发现，Floyd和最后枚举u，v,k三个变量求最小环的过程都是u,v,k三个变量，所以我们可以将其合并。这样，我们在k变量变化的同时，也就是进行Floyd算法的同时，寻找最大点为k的最小环。

主要是思路不好想，理解了思路，代码就出来了，唯一的wa点没想到是我经常用的inf 0x3f3f3f3f太小了，以后用0xfffffff吧

#include <iostream>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn = 150;
int n,m,a,b,c;
int mp[maxn][maxn];//表示的正常从u到v经过k的最短路
int A[maxn][maxn];//表示的是不经过k的时候回来的时候的最短路
int floyd()
{
    int retmin = INF;
    for(int k = 1;k <= n;k++)
    {
        for(int i = 1;i < k;i++)//假设k为最大的结点，进行遍历优化，并且最后也不会包含最大的结点n
        {
            for(int j = i + 1;j < k;j++)
            {
                //为什么不更新优化mp数组呢，是因为这是一个暴力的循环，总能够找到最小值！
                int tmp = A[i][j] + mp[i][k] + mp[k][j];
                //这个时候A[i][j]还没有更新k结点！！因为下一层才开始更新……
                if(tmp < retmin)retmin = tmp;
            }
        }
        for(int i = 1;i <= n;i++)
        {
            for(int j = 1;j <= n;j++)
            {
                if(A[i][j] > A[i][k] + A[k][j])
                    A[i][j] = A[i][k] + A[k][j];
            }
        }
    }
    return retmin;
}
int main()
{
    int i,j;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        //初始化
        for(int i = 1;i <= n;i++)
        {
            for(int j = 1;j <= n;j++)
            {
                mp[i][j] = A[i][j] = INF;
            }
        }
        //输入距离进行更新，防止重边的影响，自动定义为双向边
        for(int i = 1;i <= m;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            mp[a][b] = mp[b][a] = A[a][b] = A[b][a] = min(mp[a][b],c);
        }
        //进行floyd算法，寻找最小环
        int s = floyd();
        if(s == INF)
            printf("It‘s impossible.\n");
        else
            printf("%d\n",s);
    }
    return 0;
}