BZOJ4259: 残缺的字符串

Posted 2020-10-31 ONION_CYC

【题意】给定长度为m的匹配串B和长度为n的模板串A，求B在A中出现多少次。字符串仅由小写字母和通配符" * "组成，其中通配符可以充当任意一个字符。n<=3*10^5。

【算法】FFT

【题解】假设模板串的数组A用0~26代表所有字符，0为通配符，匹配串的数组B同理，那么用表示差异的经典套路：

$$C_n=\sum_{i=0}^{m-1}(A_{n+i}-B_i)^2*A_{n+i}*B_i$$

那么可以看出$C_n=0$当且仅当$S_A[n,n+m-1]=S_B[0,m-1]$。这里的通配符为0，所以当含有通配符时式子直接为0，即无差异。

尝试扩展上届，由于：

$$B_i=0,i\in[m,n]$$

所以可以得到：

$$C_n=\sum_{i=0}^{n}A_{n+i}^3B_i-2A_{n+i}^2B_i^2+A_{n+i}Bi^3$$

这就是标准的卷积形式了，将其中一个数组反转即可。

复杂度O(n log n)。