BZOJ1801Ahoi2009chess 中国象棋

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Description

  
  在N行M列的棋盘上,放若干个炮可以是0个,使得没有任何一个炮可以攻击另一个炮。 请问有多少种放置方法,中国像棋中炮的行走方式大家应该很清楚吧.
  

Input

  
  一行包含两个整数N,M,中间用空格分开.
  

Output

  
  输出所有的方案数,由于值比较大,输出其mod 9999973
  

Sample Input

  
  1 3
  

Sample Output

  
  7
  

HINT

  
  除了在3个格子中都放满炮的的情况外,其它的都可以.
  100%的数据中N,M不超过100
  50%的数据中,N,M至少有一个数不超过8
  30%的数据中,N,M均不超过6
  
  
  

Solution

  
?   这题的关键在于设置状态。
  
  ? 前面的数据范围很容易让人联想到状态压缩,但是这反而不利于解题。
  
?   考虑题目的本质是什么,其实是求在一个矩阵中放置每行不超过2个、每列不超过2个元素的方案数。
  
?   还是一行一行地计算,如何记录每列能不能放置一个新的元素?
  
  ? 观察到每一列元素的数量只可能是0或1或2,每列元素的数量也有重要意义:如果已有2个,则这列不可再考虑。否则还可以考虑在这行的这列的位置加一个元素。这个状态很方便记录。
  
?   那就设\(f[i][a_1][a_2]\)表示当前考虑到第\(i\)行,有\(m-a_1-a_2\)列还是空的,有\(a_1\)列已经有一个元素,有\(a_2\)列已经放好两个元素。
  
?   转移也是显然的,因为每行最多放置两个元素,所以一共只有五种简单的转移。每种已有元素相同的列其实本质上是一样的,暴力考虑一下就可以了。
  
  
  

#include <cstdio>
using namespace std;
const int N=105,MOD=9999973;
int n,m;
int f[N][N][N];
inline int C2(int n){
    if(n<=1) return 0;
    return (1LL*n*(n-1)/2)%MOD;
}
int main(){
    freopen("input.in","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    f[0][0][0]=1;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int a1=0;a1<=m;a1++)
            for(int a2=m-a1;a2>=0;a2--)
                if(f[i][a1][a2]){
                    (f[i+1][a1][a2]+=f[i][a1][a2])%=MOD;
                    int a0=m-a1-a2;
                    if(a1+a2+1<=m)
                        (f[i+1][a1+1][a2]+=1LL*a0*f[i][a1][a2]%MOD)%=MOD;
                    if(a1+a2+2<=m)
                        (f[i+1][a1+2][a2]+=1LL*C2(a0)*f[i][a1][a2]%MOD)%=MOD;
                    if(a1>=1)
                        (f[i+1][a1-1][a2+1]+=1LL*a1*f[i][a1][a2]%MOD)%=MOD;
                    if(a1>=2)
                        (f[i+1][a1-2][a2+2]+=1LL*C2(a1)*f[i][a1][a2]%MOD)%=MOD;
                    if(a1+a2+1<=m)
                        (f[i+1][a1][a2+1]+=1LL*a0*a1%MOD*f[i][a1][a2]%MOD)%=MOD;
                }
    int ans=0;
    for(int a1=0;a1<=m;a1++)
        for(int a2=m-a1;a2>=0;a2--)
            (ans+=f[n][a1][a2])%=MOD;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

?

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