元素或为1或为-1的行列式的值的估计

Posted 2020-10-31 cjc305

元素或为1或为-1的行列式的值的估计

2018.04.12

设\(n(n>2)\)阶行列式\(\det A\)的所有元素或为\(1\)或\(-1\)，求证：\(\det A\)的绝对值小于等于\((n-1)!(n-1)\).

\(solution:\)

数学归纳法.

考虑\(n=3\)的情形，第一列元素均为1或-1，故可对这一列上-1所在行乘-1使得第一列元素全为1，而\(abs(det A)\)值不变再对第二列第三列做同样的事，使得第一行元素全为-1；将第一列加到第二列、第三列，得
\[ \left| \begin{matrix} 1& 0& 0\ 1& a& b\ 1& c& d\\end{matrix} \right| \]
\(a,b,c,d\)取值为0或2，
\[ \left| \begin{matrix} a& b\ c& d\\end{matrix} \right|\leq4. \]
所以\(detA\leq4=(3-1)!(3-1)\).

设对\(n-1\)也成立，考虑\(n\)，对\(detA\)按第一列展开，易得.

本题可加强为绝对值小于等于\(\frac{2}{3}n!\).