AtCoderARC067 F - Yakiniku Restaurants 单调栈+矩阵差分

Posted 2020-10-31 ONION_CYC

【题目】F - Yakiniku Restaurants

【题意】给定n和m，有n个饭店和m张票，给出Ai表示从饭店i到i+1的距离，给出矩阵B(i,j)表示在第i家饭店使用票j的收益，求任选起点和终点的最大（收益-代价）。n<=5000,m<=200。

【算法】单调栈+矩阵差分

【题解】直接枚举区间，很难同时计算m张票，我们反过来考虑每个B(i,j)的贡献。

对于B(i,j)，令x为满足x<i,B(x,j)>B(i,j)的最大的x，令y为满足y>i,B(y,j)>B(i,j)的最小的y，则B(i,j)会对所有l∈[x+1,i]&&r∈[i,y-1]的区间贡献。

其中，x和y可以维护单调栈求得。（因为求最大，所以越早越没用）

现在将区间[x,y]视为平面上的点(x,y)，那么就是矩阵加B(i,j)，最后扫描每个点，这个用差分就可以了。

复杂度O(n^2+nm)。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=5010;
int n,m,b[maxn][maxn],s[maxn],l[maxn][maxn],r[maxn][maxn],w[maxn];
ll a[maxn],A[maxn][maxn];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=2;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]),a[i]+=a[i-1];
    for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&b[j][i]);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int top=0;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            while(top&&b[i][j]>s[top])top--;
            if(top)l[i][j]=w[top]+1;else l[i][j]=1;
            s[++top]=b[i][j];w[top]=j;
        }
        top=0;
        for(int j=n;j>=1;j--){
            while(top&&b[i][j]>s[top])top--;
            if(top)r[i][j]=w[top]-1;else r[i][j]=n;
            s[++top]=b[i][j];w[top]=j;
        }
        for(int j=1;j<=n;j++){
            A[l[i][j]][j]+=b[i][j];
            A[l[i][j]][r[i][j]+1]-=b[i][j];
            A[j+1][j]-=b[i][j];
            A[j+1][r[i][j]+1]+=b[i][j];
        }
    }
    ll ans=-1ll<<60;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++)A[i][j]+=A[i][j-1];
        for(int j=1;j<=n;j++)A[i][j]+=A[i-1][j];
        for(int j=i;j<=n;j++)ans=max(ans,A[i][j]-a[j]+a[i]);
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

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其它写法：

1.考虑每个数贡献b(j,i)-b(p(j),i)，其中p(j)表示它到左边第一个大于它的数之间最大的数字，考虑删除后修改的是一条递增链，可以预处理，复杂度均摊。

2.