运筹方法

Posted 2020-10-31 yinshoucheng

最小生成树

下图标明了六个城市（A~F）之间的公路（每条公路旁标注了其长度公里数）。为将部分公路改造成高速公路，使各个城市之间均通过高速公路通达，至少要改造共计（）公里的公路，这种总公里数最少的改造方案共有（）个。

解析：

（1）普里姆算法

任取一点，例如A，将其纳入已完成部分。点A与其他各点中的最小距离为AE=200，从而将边AE以及点E纳入已完成部分，点A、E与其他各点B、C、D、F这两个集合之间的最短距离为AF=AB=300，从而可以将边AB与点B（或边AF与点F）纳入已完成部分。

点A、B、E与点C、D、F两个集合的最短距离为AF=BF=300，从而可以将边AF（或边BF）与点F纳入已完成部分。

点A、B、E、F与点C、D两个集合之间的最短距离为FD=200，从而将边FD与点D纳入已完成部分。

点A、B、E、F、D与点C两个集合之间的最短距离为CD=300，从而将边CD与点C纳入已完成部分。

此时，所有6个点都已经接通，其选为AE、AB、AF、FD、CD，总长度为1300。

（2）克鲁斯卡尔算法

依次选取长度最小的边，题干图中是6个结点则需要5条边（边数=结点数-1），因此有：AE、FD为200，AB、BF、AF、CD为400，所以最终方案有3种。

最大流量

下图标出了某地区的运输网。各节点之间的运输能力如下表（万吨/小时），从节点1到节点6的最大运输能力（流量）可以达到（）万吨/小时。

解析：

在本题中，从节点1到节点6可以同时沿多条路径运输，总的最大流量应是各条路径上的最大流量之和，每条路径上的最大流量应是其各段流量的最小值。解题时，每找出一条路径算出流量后，该路径上各段线路上的流量应扣除已经算过的流量，形成剩余流量。剩余流量为0的线段应将其删除（断开）。例如，路径1、3、5、6的最大流量为10万吨，计算后，该路径上各段流量应都减少10万吨。从而1、3之间断开，3、5之间的剩余流量是4万吨，5、6之间的剩余流量为11万吨。

同理，依次执行类似步骤：

（1）路径1、2、5、6的剩余最大流量为6万吨。计算过后，该路径上各段流量应都减少6万吨。从而1、2之间断开，2、5之间的剩余流量是1万吨，5、6之间的剩余流量为5万吨。

（2）路径1、4、6的剩余最大流量为5万吨。计算过后，该路径上各段流量应都减少5万吨。从而4、6之间将断开，1、4之间的剩余流量是5万吨。

（3）路径1、4、3、5、6的剩余最大流量为1万吨。计算过后，该路径上各段流量应都减少1万吨。从而4、3之间断开，1、4之间的剩余流量是4万吨，3、5之间的剩余流量是3万吨，5、6之间的剩余流量是4万吨。

（4）路径1、4、2、5、6的剩余最大流量为1万吨。计算后，该路径上各段流量应减少1万吨。从而2、5之间断开，1、4之间，4、2之间，5、6之间的剩余流量是3万吨。

至此，从节点1到节点6已经没有可通的路径，因此，从节点1到节点6的最大流量应该是所有可能运输路径上的最大流量之和，即10+6+5+1+1=23万吨。

决策论

某公司需要根据下一年宏观经济的增长趋势预测决定投资策略。宏观经济增长趋势有不景气、不变和景气三种，投资策略有积极、稳健和保守三种，各种状态收益如下表。

1、乐观主义准则

乐观主义准则，也称为"最大最大准则"，其决策原则是"大中取大"。决策者依次在决策表中的各个投资方案所对应的各个结果中选择出最大结果，并记录，最后再从这些结果中选出最大者，其所对应的方案是应该采取的决策方案。

在本题中，积极方案的最大结果是500，稳健方案最大结果是300，保守方案最大结果是,400，三者最大值是500，选择其对应的积极投资方案。

2、悲观主义准则

悲观主义准则也称为"最大最小"原则，其决策原则是"小中取大"。决策者依次在决策表中各个投资方案所对应的各个结果中选出最小结果，并记录，最后再从这些结果中选出最大者，其所对应的方案就是应该采取的方案。

例如本题，积极方案中最小结果是50，稳健方案最小结果是150，保守方案最小结果是200，三者的最大值是200，因此，选择对应的保守投资方案。

3、后悔值准则

后悔值也叫做"最小最大后悔值"，该决策法的基本原理是，将每种自然状态的最高值（指收益矩阵，如果是损失矩阵应取最低值）定为该状态的理想目标，将该状态中的其他值与最高值相比所得之差作为未达到理想的后悔值。为了提高决策的可靠性，在每一方案中选取最大的后悔值，再各方案的最大后悔值中选取最小值作为决策依据，与该值所对应的方案即为入选方案。

后悔值矩阵。

在表中，积极方案的最大后悔值为350，稳健方案的最大后悔值为250，保守方案的最大后悔值300。三者中的最小后悔值为250，因此，选择其所对应的稳健投资方案。

灵敏度分析

假设有外表完全相同的木盒100只，将其分为2组，一组装白球，有70盒；另一组装黑球，有30盒。现在这100盒中任取一盒，请你猜，如果这盒内装白球，猜对了得500分，猜错了罚200分；如果这盒内装黑球，猜对了得1000分，猜错了罚150分。为使期望得分最多，应选哪一个方案？

解析：先画出决策树。

猜白球得分：0.7*500-0.3*200=290

猜黑球得分：0.3*1000-0.7*150=195

选择猜白球。

但是当白球的概率从0.7变为0.6时，"猜白"的期望值是220，"猜黑"的期望值是310，此时，"猜黑"变成最优方案。概率的变化引起了最优方案的改变，这个转折点的确定可以采用下面的公式。

设P为出现白球的概率，1-P为出现黑球的概率。当两个方案的期望值相等时，即：

P*500+(1-P)*(-200)=P*(-150)+(1-P)*1000，解出P=0.65，称之为转折率。

线性规划

线性规划最常考的是列方程，求解的问题。

某工厂计划生产甲、乙两种产品。生产每套产品所需的设备台时、A、 B两种原料和可获得利润以及可利用资源数量，如表所示。则按（）方案来安排计划以使该工厂获利最多。

解析：设甲生产x套，乙生产y套，则：2x+3y<=14；x<=2；y<=4；同时满足（2x+3y）最大，只有x=1，y=4，最大利润14万元。

动态规则

动态规则是一种将问题实例分解为更小的、相似的子问题，并存储子问题的解而避免计算重复的子问题，以解决最优化问题的算法策略。

用一辆载重10吨的卡车装运某仓库中的货物（不用考虑装车时货物的大小），这些货物单件的重量和运算利润如下。适当选择装运一些货物若干件，就能获得最大总利润（）元。

解析：若想获得最高利润最理想的方式是10吨都装满，且装的货物是单位利润最高的那些货物。因此，将每种货物的单位利润计算出来。由表数据可知，D单位利润最大，可以装2件8吨，剩余2吨选择可以选择利润第二大的A，装2件，此时最大利润538元。