BZOJ 5222[Lydsy2017省队十连测]怪题

Posted 2020-10-31 Troy Ricardo

题目大意：

　　传送门

　　给一个长度为$n（n<=200）$的数列$h$，再给$m$个可以无限使用的操作，第$i$个操作为给长度为花费$c_i$的价值给长度为$l_i$的数列子序列+1或-1，求将数列变为不下降数列的最小花费。

题解：

第一部分（上下界最小费用可行流）：　　

　　设$h_0=-inf,h_{n+1}=inf$，令$a$为$h$的差分数组，即$a_i=h_{i}-h_{i-1}$。考虑当对于区间$[l,r]$操作时（比如+1），相当于$a_{r+1}$减少1,$a_{l}$增加1。若将$a$数组看做点集，这个变化相当于从$r+1$到$l$的一条流量为$1$的有向边，反之（-1）亦然。

　　显然问题相当于把$a$数组元素均变为 不为0。那么我们由S向$a_{i}>0$的位置连$flow=[0,a_{i}],cost=0$的边，表示${i}$可以减少流量上下界，对于$a_{i}<0$的位置，我们至少要使其增加$-a_i$所以我们向$T$连$flow=[-a_i,inf]，cost=0$的边。对于每个操作我们由于可无限使用我们就给所有合法位置连$flow=[0,inf],cost=c_{i}$的边，然后我们可以跑一个上下界解决问题。

　　等等，这样的确解决了问题，不过我们观察一下这个图，会发现上下界源点只连向了$T$，而上下界汇点只被那些$a_{i}<0$的点连接到。

　　我们把这个图转化一下，会发现对于上面的建图方式，我们只把$a_{i}<0$的边建成$flow=-a_i，cost=0$的边即可，根本不需要跑上下界。这就是另外一种思考方式。

第二部分（最小费用最大流）：

　　我们考虑那些$a_{i}<0$的点变为$0$一定比使其变为任一整数更优秀，同时这也是我们的判断有没有解的依据。

　　所以我们就直接由$a_{i}<0$的点连向$T$的边为$flow=-a_i,cost=0$即可，如果所有连向$T$的边都流满，说明有解，同时由于上述性质，一定是最优解。

　　

　　不过这两个时间复杂度并没有太大区别。

代码：

  1 #include "bits/stdc++.h"
  2 
  3 using namespace std;
  4 
  5 #define inf 0x3f3f3f3f
  6 
  7 inline int read() {
  8     int s=0,k=1;char ch=getchar ();
  9     while (ch<‘0‘|ch>‘9‘) ch==‘-‘?k=-1:0,ch=getchar();
 10     while (ch>47&ch<=‘9‘) s=s*10+(ch^48),ch=getchar();
 11     return s*k;
 12 }
 13 
 14 const int N=1e3+10;
 15 
 16 struct edges {
 17     int v,cap,cost;edges *pair,*last;
 18 }edge[N*N],*head[N];int cnt;
 19 
 20 inline void push(int u,int v,int cap,int cost) {
 21     edge[++cnt]=(edges){v,cap,cost,edge+cnt+1,head[u]},head[u]=edge+cnt;
 22     edge[++cnt]=(edges){u,0,-cost,edge+cnt-1,head[v]},head[v]=edge+cnt;
 23 }
 24 
 25 int S,T,ss,tt,n,fl,m;
 26 int piS,vis[N];
 27 long long cost;
 28 
 29 inline int aug(int x,int w) {
 30     if (x==T) return cost+=1ll*piS*w,fl+=w,w;
 31     vis[x]=true;
 32     int ret=0;
 33     for (edges *i=head[x];i;i=i->last)
 34         if (i->cap&&!i->cost&&!vis[i->v])   {
 35             int flow=aug(i->v,min(i->cap,w));
 36             i->cap-=flow,i->pair->cap+=flow,ret+=flow,w-=flow;
 37             if (!w) break;
 38         }
 39     return ret;
 40 }
 41 
 42 inline bool modlabel() {
 43     static int d[N];
 44     memset(d,0x3f,sizeof d);d[T]=0;
 45     static deque<int> q;q.push_back(T);
 46     int dt;
 47     while (!q.empty()) {
 48         int x=q.front();q.pop_front();
 49         for (edges *i=head[x];i;i=i->last)  
 50             if (i->pair->cap&&(dt=d[x]-i->cost)<d[i->v])
 51                 (d[i->v]=dt)<=d[q.size()?q.front():0]
 52                     ?q.push_front(i->v):q.push_back(i->v);
 53     }
 54     for (int i=S;i<=T;++i)
 55         for (edges *j=head[i];j;j=j->last)
 56             j->cost+=d[j->v]-d[i];
 57     piS+=d[S];
 58     return d[S]<inf;
 59 }
 60 
 61 inline void solve() {
 62     piS = cost = 0;
 63     while(modlabel())
 64         do memset(vis,0,sizeof vis); 
 65     while(aug(S, inf));
 66 }
 67 
 68 int h[N],a[N],c[N],l[N],typ[N];
 69 int f[N],g[N];
 70 
 71 int main(){
 72     n=read(),m=read();
 73     for (int i=1;i<=n;++i)
 74         h[i]=read();
 75     for (int i=n;i>1;--i)
 76         h[i]=h[i]-h[i-1];
 77     h[1]=inf,h[n+1]=inf;
 78     ss=n+2,tt=ss+1,T=tt+1;
 79     char opt[2];
 80     for (int i=1;i<=m;++i) {
 81         scanf("%s",opt),l[i]=read(),c[i]=read();
 82         typ[i]=opt[0]==‘+‘;
 83     }
 84     ++n;
 85     for (int i=1;i<=n;++i)
 86         if (h[i] > 0)
 87             push(ss,i,h[i],0);
 88         else if(h[i]<0)  push(i,tt,inf,0),a[i]=-h[i],a[tt]+=h[i],push(i,T,a[i],0);
 89     push(tt,ss,inf,0);
 90     push(S,tt,-a[tt],0);
 91     memset(f,0x3f,sizeof(f));
 92     f[0]=0;
 93     memcpy(g,f,sizeof g);
 94     for (int j=1;j<=m;++j)  
 95         for (int k=l[j];k<=n;k+=l[j])
 96             if(typ[j])  
 97                 for (int i=n-1;i>=l[j];--i)
 98                     f[i]=min(f[i],f[i-l[j]]+c[j]);
 99             else 
100                 for (int i=n-1;i>=l[j];--i)
101                     g[i]=min(g[i],g[i-l[j]]+c[j]);
102     // puts()
103     for (int j=1;j<=m;++j)  
104         if (typ[j]){
105             if (f[l[j]]==c[j])  
106                 for (int i=l[j]+1;i<=n;++i)
107                     push(i,i-l[j],inf,c[j]);
108         }else 
109             if (g[l[j]]==c[j])
110                 for (int i=1;i+l[j]<=n;++i)
111                     push(i,i+l[j],inf,c[j]); 
112     solve();
113     if (fl==-a[tt])
114         printf("%lld\n",cost);
115     else puts("-1");
116 }

上下界

  1 #include "bits/stdc++.h"
  2 
  3 using namespace std;
  4 
  5 #define inf 0x3f3f3f3f
  6 
  7 inline int read() {
  8     int s=0,k=1;char ch=getchar ();
  9     while (ch<‘0‘|ch>‘9‘) ch==‘-‘?k=-1:0,ch=getchar();
 10     while (ch>47&ch<=‘9‘) s=s*10+(ch^48),ch=getchar();
 11     return s*k;
 12 }
 13 
 14 const int N=1e3+10;
 15 
 16 struct edges {
 17     int v,cap,cost;edges *pair,*last;
 18 }edge[N*N],*head[N];int cnt;
 19 
 20 inline void push(int u,int v,int cap,int cost) {
 21     edge[++cnt]=(edges){v,cap,cost,edge+cnt+1,head[u]},head[u]=edge+cnt;
 22     edge[++cnt]=(edges){u,0,-cost,edge+cnt-1,head[v]},head[v]=edge+cnt;
 23 }
 24 
 25 int S,T,ss,tt,n,fl,m;
 26 int piS,vis[N];
 27 long long cost;
 28 
 29 inline int aug(int x,int w) {
 30     if (x==T) return cost+=1ll*piS*w,fl+=w,w;
 31     vis[x]=true;
 32     int ret=0;
 33     for (edges *i=head[x];i;i=i->last)
 34         if (i->cap&&!i->cost&&!vis[i->v])   {
 35             int flow=aug(i->v,min(i->cap,w));
 36             i->cap-=flow,i->pair->cap+=flow,ret+=flow,w-=flow;
 37             if (!w) break;
 38         }
 39     return ret;
 40 }
 41 
 42 inline bool modlabel() {
 43     static int d[N];
 44     memset(d,0x3f,sizeof d);d[T]=0;
 45     static deque<int> q;q.push_back(T);
 46     int dt;
 47     while (!q.empty()) {
 48         int x=q.front();q.pop_front();
 49         for (edges *i=head[x];i;i=i->last)  
 50             if (i->pair->cap&&(dt=d[x]-i->cost)<d[i->v])
 51                 (d[i->v]=dt)<=d[q.size()?q.front():0]
 52                     ?q.push_front(i->v):q.push_back(i->v);
 53     }
 54     for (int i=S;i<=T;++i)
 55         for (edges *j=head[i];j;j=j->last)
 56             j->cost+=d[j->v]-d[i];
 57     piS+=d[S];
 58     return d[S]<inf;
 59 }
 60 
 61 inline void solve() {
 62     piS = cost = 0;
 63     while(modlabel())
 64         do memset(vis,0,sizeof vis); 
 65     while(aug(S, inf));
 66 }
 67 
 68 int h[N],a[N],c[N],l[N],typ[N];
 69 int f[N],g[N];
 70 
 71 int main(){
 72     n=read(),m=read();
 73     for (int i=1;i<=n;++i)
 74         h[i]=read();
 75     for (int i=n;i>1;--i)
 76         h[i]=h[i]-h[i-1];
 77     h[1]=inf,h[n+1]=inf;
 78     // ss=n+2,tt=ss+1,T=tt+1;
 79     char opt[2];
 80     for (int i=1;i<=m;++i) {
 81         scanf("%s",opt),l[i]=read(),c[i]=read();
 82         typ[i]=opt[0]==‘+‘;
 83     }
 84     ++n;T=n+1;
 85     for (int i=1;i<=n;++i)
 86         if (h[i] > 0)
 87             push(S,i,h[i],0);
 88         else if(h[i]<0)  push(i,T,-h[i],0),a[tt]+=h[i];//,push(i,T,a[i],0);
 89     // push(tt,ss,inf,0);
 90     // push(S,tt,-a[tt],0);
 91     memset(f,0x3f,sizeof(f));
 92     f[0]=0;
 93     memcpy(g,f,sizeof g);
 94     for (int j=1;j<=m;++j)  
 95         for (int k=l[j];k<=n;k+=l[j])
 96             if(typ[j])  
 97                 for (int i=n-1;i>=l[j];--i)
 98                     f[i]=min(f[i],f[i-l[j]]+c[j]);
 99             else 
100                 for (int i=n-1;i>=l[j];--i)
101                     g[i]=min(g[i],g[i-l[j]]+c[j]);
102     for (int j=1;j<=m;++j)  
103         if (typ[j]){
104             if (f[l[j]]==c[j])  
105                 for (int i=l[j]+1;i<=n;++i)
106                     push(i,i-l[j],inf,c[j]);
107         }else 
108             if (g[l[j]]==c[j])
109                 for (int i=1;i+l[j]<=n;++i)
110                     push(i,i+l[j],inf,c[j]); 
111     solve();
112     // printf("%d %d\n",fl);
113     if (fl==-a[tt])
114         printf("%lld\n",cost);
115     else puts("-1");
116 }

最大流