青蛙的约会

Posted 2020-10-31 给杰瑞一块奶酪~

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

学习扩展欧几里得算法。
代码：

/*
摘抄: 扩展欧几里德算法是用来求解a*x+b*y=Gcd(a,b)的解(根据数论中的相关定理解一定存在)。  证明如下

ax+by

=gcd(a,b)

=gcd(b,a%b)

= bx‘+(a%b) y‘

=bx‘+ ( a- (a/b) *b)y‘

=bx‘+ ay‘- (a/b) *b *y‘

=ay‘+ b(x‘- (a/b) y‘)

所以ax+by=ay‘+ b(x‘- (a/b) y‘)

所以x=y‘，y=x‘- (a/b) y‘

下面是一个使用C++的实现：

　　int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)

　　{

    　　if(b == 0)

    　　{

        　　x = 1;

        　　y = 0;

       　　 return a;

    　　}

    　　int r = exGcd(b, a % b, x, y);

    　　int t = x;

    　　x = y;

    　　y = t - a / b * y;

　　    return r;

　　}

利用扩展欧几里得算法求解不定方程a * x + b * y = n的整数解的求解全过程，步骤如下：

　　1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a‘ * x + b‘ * y = n‘，此时Gcd(a‘,b‘)=1;

    2、利用扩展欧几里德算法求出方程a‘ * x + b‘ * y = 1的一组整数解x0,y0，则n‘ * x0,n‘ * y0是方程a‘ * x + b‘ * y = n‘的一组整数解；

　　3、根据数论中的相关定理，可得方程a‘ * x + b‘ * y = n‘的所有整数解为：

        x = n‘ * x0 + b‘ * t

y = n‘ * y0 - a‘ * t    (t=0,1,2，……)

　　　 上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解
本题:
x + m * t - (y + n * t) = k * l
k * l + (n - m) * t = x - y
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;
long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    long long r = exgcd(b,a % b,x,y);
    long long t = x - a / b * y;
    x = y;
    y = t;
    return r;
}
int main()
{
    long long x,y,m,n,l,a,b;
    cin>>x>>y>>m>>n>>l;
    long long r = exgcd(n - m,l,a,b);
    long long rr = abs(l / r);
    if((x - y) % r)
    {
        cout<<"Impossible";
    }
    else
    {
        cout<<((x - y) / r * a % rr + rr) % rr;
    }
}