BZOJ4559: [JLoi2016]成绩比较 计数DP+排列组合+拉格朗日插值

Posted 2020-10-31 ONION_CYC

【题意】n位同学（其中一位是B神），m门必修课，每门必修课的分数是[1,Ui]。B神碾压了k位同学（所有课分数<=B神），且第x门课有r_x-1位同学的分数高于B神，求满足条件的分数情况数。当有一位同学的一门必修课分数不同时视为两种情况不同。n,m<=100，Ui<=10^9。

【算法】计数DP+排列组合+拉格朗日插值

【题解】把分数作为状态不现实，只能逐门课考虑。

设$f[i][j]$表示前i门课，有j个同学被碾压的情况数，则有：

$$f[i][j]=g(i)\cdot\sum_{k=j}^{n}f[i-1][k]\cdot\binom{k}{k-j}\cdot\binom{n-k-1}{r_i-k+j}$$

其中，$g(i)$表示第i门课的合法分数情况数，因为容易发现当天分数合法情况数与多少人被碾压等信息无关，所以可以独立出来。

枚举前i-1门课被碾压的人数k，那么有