欧拉函数

Posted 2020-10-31 _ZZH

我们规定φ（p）表示1~p-1中与p互质的数的个数，规定φ（1）=1。

有以下性质：

1.当p为素数是φ（p）=p-1

2.设m>1,(a,m)=1,则：

a^φ(m)≡1(mod m). (欧拉定理)

3.设p为素数，(a,p)=1，则：

a^p-1≡1(mod p).(费马小定理)

4.若i mod p==0(即p | i)，那么φ（i*p）=φ(i)*p

5.若i mod p!=0，那么φ(i*p)=φ(i)*(p-1)

//限于篇幅，均不证明

那么我们该如何计算φ呢？暴力？显然是不行的。

1.若（m1,m2）=1,则φ(m1*m2)=φ(m1)*φ(m2)

2.由上面的定理可以推得φ的计算公式：

设n>1且其标准分解式为n=p1^a1*p2^a2*p3^a3...pk^ak，则：
φ（n）=n*(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)...（1-1/pk）.

我们可能需要写程序来计算φ，我们考虑在线筛的同时求解。

求解方法利用了性质1,4,5.

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
bool b[100010];
int n,prime[100010],total,phi[100010];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	b[0]=b[1]=1;
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!b[i])
		{
			prime[++total]=i;
			phi[i]=i-1;//性质1 
		}
		for(int j=1;j<=total;j++)
		{
			if(i*prime[j]>n)break;
			b[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];//性质4 
				break;
			}
			else
			phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//性质5 
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",phi[i]);
}