每一对顶点间最短路径的Floyd算法

Posted 2020-07-09 wxdjss

Floyd思想可用下式描述:

A-1[i][j]=gm[i][j]

A(k+1)[i][j]=min{Ak[i][j],Ak[i][k+1]+Ak[K+1][j]}    -1<=k<=n-2

该式是一个迭代公式,Ak表示已考虑顶点0,1,.......,k等k+1个顶点之后各顶点之间的最短路径,即Ak[i][j]表示由Vi到Vj已考虑顶点0,1,.......,k等k+1个顶点的最短路径;在此基础上再考虑顶点k+1并求出各顶点在考虑了顶点k+1之后的最短路径,即得到Ak+1.每迭代一次,在从vi到vj的最短路径上就多考虑了一个顶点;经过n次迭代后所得到的A(n-1)[i][j]值,就是考虑所有顶点后从Vi到Vj的最短路径,也就是最终的解。

若Ak[i][j]已经求出,且顶点i到顶点j的路径长度为Ak[i][j],顶点i到顶点k+1的路径长度为Ak[i][k+1],顶点k+1到顶点j的路径长度为Ak[K+1][j],现在考虑顶点k+1,如果Ak[i][K+1]+Ak[k+1][j]<Ak[i][j],则将原来顶点i到顶点j的路径改为:顶点i到顶点k+1,再由顶点k+1到顶点j;对应的路径长度为:A(k+1)[i][j]=Ak[i][k+1]+Ak[k+1][j];否则无需修改顶点i到顶点j的路径.

参考代码:

 1 #include<stdio.h>
 2 #define MAXSIZE 6//带权有向图中顶点的个数
 3 #define INF 32767
 4 
 5 void Ppath(int path[][MAXSIZE],int i,int j)//前向递归查找路径上的顶点，MAXSIZE为常数
 6 {
 7  int k;
 8  k=path[i][j];
 9  if(k!=-1)
10  {
11      Ppath(path,i,k);//找顶点vi的前一个顶点vk
12      printf("%d->",k);//输出顶点vk序号k
13      Ppath(path,k,j);//找顶点vk的前一个顶点vj
14  }
15 }
16 
17 void Dispath(int A[][MAXSIZE],int path[][MAXSIZE],int n)//输出最短路径的函数
18 {
19     int i,j;
20     for(i=0;i<n;i++)
21         for(j=0;j<n;j++)
22             if(A[i][j]==INF)//INF为一极大常数
23             {
24                 if(i!=j)
25                     printf("从%d到%d没有路径!\\n",i,j);
26             }
27             else//从vi到vj有最短路径
28             {
29                 printf("从%d到%d的路径长度:%d,路径:",i,j,A[i][j]);
30                 printf("%d->",i);//输出路径上的起点序号i
31                 Ppath(path,i,j);//输出路径上的各中间点序号
32                 printf("%d\\n",j);//输出路径的终点序号j
33             }
34 }
35 
36 void Floyd(int gm[][MAXSIZE],int n)//Floyd算法
37 {
38     int A[MAXSIZE][MAXSIZE],path[MAXSIZE][MAXSIZE];
39     int i,j,k;
40     for(i=0;i<n;i++)
41         for(j=0;j<n;j++)
42         {A[i][j]=gm[i][j];//A-1[i][j]置初值
43          path[i][j]=-1;//-1表示初始时最短路径不经过中间顶点
44         }
45         for(k=0;k<n;k++)//按顶点编号k递增的次序查找当前顶点之间的最短路径长度
46             for(i=0;i<n;i++)
47                 for(j=0;j<n;j++)
48                     if(A[i][j]>A[i][k]+A[k][j])
49                     {A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];//从vi到vj经过vk时路径长度更短
50                      path[i][j]=k;//记录中间顶点Vk的编号
51                     }
52                     Dispath(gm,path,n);//输出最短路径
53 }
54 
55 void main()
56 {
57     int g[MAXSIZE][MAXSIZE]={{INF,20,15,INF,INF,INF},{2,INF,INF,INF,10,30},{INF,4,INF,INF,INF,10},
58     {INF,INF,INF,INF,INF,INF},{INF,INF,INF,15,INF,INF},{INF,INF,INF,4,10,INF}};
59     Floyd(g,MAXSIZE);
60 }     

输出结果: