BSGS算法
我是看着\\(ppl\\)的博客学的，您可以先访问\\(ppl\\)的博客
Part1 BSGS算法
求解关于\\(x\\)的方程
\\[y^x=z(mod\\ p)
\\]
其中\\((y,p)=1\\)
做法并不难，我们把\\(x\\)写成一个\\(am-b\\)的形式
那么，原式变成了
\\(y^{am}=zy^b(mod\\ p)\\)
我们求出所有\\(b\\)可能的取值(0~m-1)，并且计算右边的值
同时用哈希或者\\(map\\)之类的东西存起来，方便查询
对于左边，我们可以枚举所有可能的\\(a\\)，然后直接查右边的值有没有相等的即可
复杂度是\\(O(max(m,p/m))\\)
不难证明\\(m=\\sqrt(p)\\)时复杂度最优
所以\\(bsgs\\)算法的复杂度是\\(O(\\sqrt(p))\\)
关键代码：
int m=sqrt(p)+1;Hash.Clear();
for(RG int i=0,t=z;i<m;++i,t=1ll*t*y%p)Hash.Insert(t,i);
for(RG int i=1,tt=fpow(y,m,p),t=tt;i<=m+1;++i,t=1ll*t*tt%p)
{
int k=Hash.Query(t);if(k==-1)continue;
printf("%d\\n",i*m-k);return;
}
使用\\(map\\)会多个\\(log\\)，在洛谷上我写的\\(Hash\\)目前是跑得最快的。。。
Part2 拓展BSGS
假设\\(gcd(y,p)\\neq 1\\)怎么办？
令\\(d=gcd(y,p)\\)
将方程改写成等式形式
\\[y^x+kp=z
\\]
发现此时的\\(z\\)必须要是\\(d\\)的倍数，否则无解。
因此，除掉\\(d\\)
\\[\\frac{y}{d}y^{x-1}+k\\frac{p}{d}=\\frac{z}{d}
\\]
这样前面的\\(y/d\\)就是一个系数了，
不断检查\\(gcd(\\frac{z}{d},y)\\)，一直除到互质为止
此时的形式就变成了
\\[\\frac{y^k}{d}y^{x-k}=\\frac{z}{d}(mod\\ \\frac{p}{d})
\\]
这样子\\(bsgs\\)求解之后在还原回去就行了。
模板:SPOJ Power Modulo Inverted
关键代码
void ex_BSGS(int y,int z,int p)
{
if(z==1){puts("0");return;}
int k=0,a=1;
while(233)
{
int d=__gcd(y,p);if(d==1)break;
if(z%d){NoAnswer();return;}
z/=d;p/=d;++k;a=1ll*a*y/d%p;
if(z==a){printf("%d\\n",k);return;}
}
Hash.clear();
int m=sqrt(p)+1;
for(int i=0,t=z;i<m;++i,t=1ll*t*y%p)Hash.Insert(t,i);
for(int i=1,tt=fpow(y,m,p),t=1ll*a*tt%p;i<=m;++i,t=1ll*t*tt%p)
{
int B=Hash.Query(t);if(B==-1)continue;
printf("%d\\n",i*m-B+k);return;
}
NoAnswer();
}