常用数据结构功能及复杂度总结

Posted 2020-07-09 ccz181078

 

不定长数组

维护一个序列

在末尾插入/删除均摊O(1)

任意位置插入O(n)

指定位置查询/修改O(1)

空间O(n)

链表

维护一个序列

定位到第i个位置O(n)

在任意位置（已定位到该位置）插入/删除/修改O(1)

空间O(n)

散列表

维护键-值对应关系或维护键的存在性

1.开放寻址法散列表

若已插入键个数小于表大小的3/4则可以认为查询/修改/插入期望O(1)，最坏O(n)若正确选择hash函数一般不会出现

删除只能标记删除

一般所需空间应大于最大键个数的4/3以保证效率

2.链散列法散列表

若表中键个数a，表大小n，则查询/修改/插入/删除期望O(1+a/n)，最坏O(n)若正确选择hash函数一般不会出现

必要时可以用平衡树代替链表而做到最坏O(logn)但实用价值不大

并查集

维护一些元素以及两两之间是否同类（同类关系可传递）并支持将两个元素所属的类合为一类

1.并查集的森林实现

按秩合并+路径压缩 查询/合并 均摊O(α(n))

仅按秩合并 单次操作保证O(logn)

仅路径压缩 单次操作保证O(logn)

2.并查集的链表实现

查询/合并 均摊O(logn)

支持遍历某元素所在集合

树状数组

维护一个序列

设序列长度n，操作个数m

修改指定位置元素的值O(logn)

求指定区间元素的和O(logn)

推广:

通过维护差分可以O(logn)区间增加指定值,查询元素的值

维护任意满足区间加法的运算下的前缀和 

维护任意满足区间间法的运算下的区间和

k维推广:

空间O(n^k)，利用散列表动态开点可做到O(mlog^kn)

单次修改/k维区间和O(log^kn)

平衡树

维护一个单调序列

查询前趋后继/插入/删除O(logn)

在维护size后可支持O(logn)查询排名/小于k的元素个数

不维护序列单调性而只维护普通序列 可以支持O(logn)指定位置插入/删除/查询

splay可实现区间翻转但所有操作复杂度为均摊

利用线段树的规则可以维护区间信息

线段树

维护一个序列的区间信息

可支持单点/区间 修改/查询，一般单次操作O(logn)，要求维护的信息满足区间加法

推广：

利用类似平衡树的规则可以实现在指定位置插入/删除O(logn)

堆

维护一些无序元素

查询最小值/插入元素/删除最小值O(logn)

（已定位到指定元素）增加/减小指定元素的值O(logn)(斐波那契堆为均摊O(1))

可并堆可支持O(logn)合并

ST表

维护一个序列

构建时间空间均为O(nlogn)

查询区间最大值O(1)

最大值可换为其它任意 可由两个区间的值得出并区间的值 的运算

块状链表

维护一个序列

指定位置查询/修改/插入/删除/ 区间翻转/区间查询/区间修改 O(n^0.5)

k-d树

维护k维空间中的点 k>1

构建O(knlogn)

空间O(n)

插入O(logn)

查询/修改（每维指定区间）信息O(n^0.5)

查询最近/最远点O(n^0.5)

可持久化数据结构

原数据结构有严格的时空复杂度，则可持久化后仍可保证复杂度

若原数据结构为线性数据结构则复杂度会乘上一个logn

一般空间不可避免的会增大每次操作logn或更大，但不会超过时间复杂度

均摊复杂度在可持久化后一般最坏情况会退化

数据结构树上推广

通过树链剖分可将形态不变的树分解为链进行维护，复杂度为原数据结构乘logn

对形态不变的树若信息符合区间减法则可以用dfs序维护，复杂度同原数据结构

link-cut tree可以支持树形态的简单修改操作，一般复杂度为均摊O(logn)

点分治/边分治也可用数据结构维护