Caffarelli 关于自由边界正则性的论文C1

Posted 2020-10-30 Minimal_Cone

Caffarelli 关于自由边界正则性的论文

 

接下来主要想叙述一下Caffarelli的C1文章中的一些想法，这是最近这几天看的文献。 对于从自由边界的Lipschitz正则性到$C^{1,\alpha}$正则性，Caffarelli有一套自己的基于Harnack不等式的几何方法。

 

对于一个Lipschitz函数，直观上来讲就是函数图像上每点都存在一个一致大小的双边锥，而Caffarelli采用了一种等价几何刻画，即图像上每点都存在一个一致大小的单边锥，而这个关于Lipschitz函数的等价描述，在后来定理的证明过程中一次一次的反复用到。

 

从$Lipschitz$到$C^{1,\alpha}$这一正则性提升来看，如果对于类似于非参数极小方程的解来讲，它就对应着$De Giorgi$定理。而对应于自由边界来讲，Caffarelli基于对$De Giorgi$定理的几何理解，给出了如何证明自由边界正则性一套方法。直观上来讲，就是在$Lipschitz$函数的每一点如果放一个固定大小的锥$\Gamma(e,\theta)$，而如果可以在把锥的法线方向扰动一点点的情形下，可以放一个开口更大的锥$\Gamma(\overline{e},\overline{\theta})$，且$\overline{\theta}=\theta+\delta(\frac{\pi}{2}-\alpha)$，然后在迭代一下去，最后就得到了$C^{1,\alpha}$正则性。

 

以上是关键的迭代技术。但是如何才能把锥的开口能打开一个固定的比例了？这就是Caffarelli的厉害之处，高维的情形，别人到$Lipschitz$就做不动了，而Caffarelli解决了这个问题。

 

步骤:

(1) 比如说在$\{u>0\}$内，由调和函数的到边$Harnack$可知，在每点处都有一个单调锥。 而后找到一个点，梯度不为$0$，通过计算可以的处，此点的一个小球内的单调锥可以向之前提到的那样，开口会打开一些。

(2)而后通过构造一系列下解，用连续性方法把把(1)的信息传递到边界去。这样在$B_{\frac{1}{2}}$内，其内部的自由点的单调锥开口都能够扩大一些。

(3)最后迭代(1)、(2),就得到了$F(u)$的正则性了。

 

暂时先这样，过会儿再写。