[HihoCoder1413]Rikka with String

Posted 2020-10-30 租酥雨

vjudge

题意

给你一个串，问你把每个位置的字符替换成#后串中有多少本质不同的子串。
\(n\le 3*10^5\)

sol

首先可以计算出原串里面有多少本质不同的子串。显然就是\(\sum_{i=1}^{tot}len_i-len_{fa_i}\)。

然后考虑把\(i\)位置替换成了#，那么你从\(1..i\)中任选左端点，\(i..n\)中任选右端点，这样的子串一定会是本质不同的。（一定含有字符#，满足长度不同或#的出现位置不同）

所以对于位置\(i\)，答案先加上\(i*(n-i+1)\)。

然后也可以再给答案加上原有的本质不同的子串数目，这样我们就只需要求出：把\(i\)位置改成#后有多少本质不同的子串不再出现了（被砍断）。

考虑一个\(SAM\)中的状态\(i\)，设其最大长度\(len_i\)，\(right\)集合中的最小最大元素分别为\(l_i,r_i\)。

对于区间\([r_i-len_i+1,\min(r_i-len_{fa_i},l_i)]\)（如果合法的话），我们会给这个区间加上一个首项是\(1\)公差也是\(1\)的等差数列。

因为这个状态\(i\)本身是表示了\(len_i-len_{fa_i}+1\)个连续长度的子串，所以在这个区间内每向右移动一下就会有一个子串被砍断，因此是一个公差为\(1\)的等差数列。

对于区间\([min(r_i-len_{fa_i},l_i)+1,l_i]\)（如果合法的话），一旦#出现在这个区间里那么\(i\)这个状态表示的所有长度大于等于一定值的子串就都会被砍断。所以给这个区间集体加上前一个区间的长度，即\(\min(r_i-len_{fa_i},l_i)-(r_i-len_i+1)+1\)。

等差数列用二阶差分维护一下就可以了，注意原一阶差分（第二种情况就是一个一阶差分）对应的二阶差分。所以构出\(SAM\)后的复杂度可以做到线性。

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 6e5+5;
int n,last=1,tot=1,tr[N][26],fa[N],len[N],l[N],r[N],t[N],a[N];
char s[N];long long sum,ans[N];
void extend(int c)
{
    int v=last,u=++tot;last=u;
    len[u]=len[v]+1;
    while (v&&!tr[v][c]) tr[v][c]=u,v=fa[v];
    if (!v) fa[u]=1;
    else{
        int x=tr[v][c];
        if (len[x]==len[v]+1) fa[u]=x;
        else{
            int y=++tot;
            memcpy(tr[y],tr[x],sizeof(tr[y]));
            fa[y]=fa[x];fa[x]=fa[u]=y;len[y]=len[v]+1;
            while (v&&tr[v][c]==x) tr[v][c]=y,v=fa[v];
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);scanf("%s",s+1);
    memset(l,63,sizeof(l));
    for (int i=1;i<=n;++i) extend(s[i]-'a'),l[last]=r[last]=i;
    for (int i=1;i<=tot;++i) ++t[len[i]];
    for (int i=1;i<=tot;++i) t[i]+=t[i-1];
    for (int i=1;i<=tot;++i) a[t[len[i]]--]=i;
    for (int i=tot;i;--i)
    {
        l[fa[a[i]]]=min(l[fa[a[i]]],l[a[i]]);
        r[fa[a[i]]]=max(r[fa[a[i]]],r[a[i]]);
        sum+=len[i]-len[fa[i]];
    }
    for (int i=2;i<=tot;++i)
    {
        int L=r[i]-len[i]+1,R=min(r[i]-len[fa[i]],l[i]),Len=R-L+1;
        if (L<=R) ans[L]+=1,ans[R+1]-=Len+1,ans[R+2]+=Len;
        L=R+1;R=l[i];
        if (L<=R) ans[L]+=Len,ans[L+1]-=Len,ans[R+1]-=Len,ans[R+2]+=Len;
    }
    for (int i=1;i<=n;++i) ans[i]+=ans[i-1];
    for (int i=1;i<=n;++i) ans[i]+=ans[i-1];
    for (int i=1;i<=n;++i) printf("%lld ",1ll*i*(n-i+1)+sum-ans[i]);
    puts("");return 0;
}