求两个有序序列合并成新有序序列的中位数，求第k小数

Posted 2020-07-09 32ddd

此算法涉及一个重要数学结论：如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，那么A[0]~A[k/2-1]一定在第k小的数的序列当中，可以用反证法证明。

更加一般的结论是：k=pa+pb，如果A[pa-1]<B[pb-1]，那么A[0]~A[pa-1]一定在第k小的数的序列当中。

算法思想如下：

1，假设A长度为m，B长度为n，m>n，反之亦然。

2，拆分k=pa+pb。

3，如果A[pa-1]<b[pb-1]，那证明第A[0]~A[pa-1]一定在合并后k小数序列中。所以，可以把A的前面pa个数字截掉，递归，同理砍掉B数组。

4，递归的边界条件是if m=0，返回B[k-1]，如果k = 1（找第一个数）就返回min[A[1],B[1])。

 

C++代码

double findKth(int a[], int m, int b[], int n, int k)
{
    //always assume that m is equal or smaller than n
    if (m > n)
        return findKth(b, n, a, m, k);
    if (m == 0)
        return b[k - 1];
    if (k == 1)
        return min(a[0], b[0]);
    //divide k into two parts
    int pa = min(k / 2, m), pb = k - pa;
    if (a[pa - 1] < b[pb - 1])
        return findKth(a + pa, m - pa, b, n, k - pa);
    else if (a[pa - 1] > b[pb - 1])
        return findKth(a, m, b + pb, n - pb, k - pb);
    else
        return a[pa - 1];
}

class Solution
{
public:
    double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n)
    {
        int total = m + n;
        if (total & 0x1)
            return findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1);
        else
            return (findKth(A, m, B, n, total / 2)
                    + findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1)) / 2;
    }
};

 

Java代码

import java.util.Arrays;

public class KNumber {
    public int findKth(int[] a, int m, int[] b, int n, int k)
    {   //假设m<n
        if(m>n)
            return findKth(b,n,a,m,k);
        if(m == 0)
            return b[k-1];
        if(k == 1)
            return Math.min(a[0], b[0]);
        //把k分成两部分,结论,if a[pa-1]<b[k-pa-1] 则 a[pa]在有序系列a和b组成的新有序序列中的前k小序列里。
        int pa = Math.min(k/2, m), pb = k - pa;
        if(a[pa - 1] < b[pb - 1])
        {
            int[] tmp = Arrays.copyOfRange(a, pa, a.length);//注意边界是a.length不是a.length-1,java对数组的操作不如c++指针那么方便
            return findKth(tmp,m-pa,b,n,k-pa);
        }
        else if(a[pa-1] > b[pb -1])
        {
            int[] tmp = Arrays.copyOfRange(b, pb, b.length);
            return findKth(a, m, tmp, n-pb, k-pb);
        }
        else
            return a[pa-1];
    }
    
    
    public int findMedianSortedArrays(int[] a, int m, int[] b, int n)
    {
        int total = m + n;
        if(total%2==1)
        {
            return findKth(a, m, b, n, total/2);
        }
        else
            return (findKth(a, m, b, n, total/2)+findKth(a, m, b, n, total/2+1))/2;
    }
    
    
    public static void main(String[] args)
    {
        int[] a = {1,4,9};
        int[] b = {4,5,6};
        KNumber kn = new KNumber();
        System.out.println(kn.findMedianSortedArrays(a, 3, b, 3));
    }
}