贝叶斯法则

Posted 2020-10-30 一起来看流星雨

1.条件概率

 

       P(A/B)=P(B/A)*P(A)/P(B) 0.3*0.2/0.1

 

2.全概率公式

3.贝叶斯法则

以下问题将有助于你回顾在“贝叶斯法则”章节中学习到的知识。

例子1：你希望得出一辆汽车看见黄色 的交通信号灯就停下来的概率是多少。

• 经验数据告诉你，一辆汽车在交通灯交叉路口停车的概率是 P(S) = 0.40 。

• 同时你了解到，基于经验数据，交通灯是黄色（而不是红色或绿色）的概率是 P(Y) = 0.10。

 

 

当汽车停在十字路口时，数据显示，灯光为黄色的时间占比为 12%。所以，如果我们知道一辆车停了下来，那么有 12% 的可能性是黄灯。 这被称为条件概率。

给定上面的 P(S) 和 P(Y)，如何用符号表示这个条件概率？  

     P(Y/S)=0.12

如果交通信号灯为黄色，那么汽车停下的可能性0是多少？

     P(S/Y)=P(Y/S)*P(S)/P(Y)=0.12*0.4/0.1=0.48

 

例子2：在一条四车道的高速公路上，汽车行驶速度要么快，要么不快。 快的汽车应该在最左边的车道。

• 在任何时候，都有 20% 的车辆在最左边的车道。P(左)=0.2

• 总体上，高速公路上有 40% 的车辆被归类为快速行驶。P（快）=0.4

• 在最左边车道的所有车辆中，90% 的车辆正在快速行驶。P（快/左）=0.9

如果汽车行驶速度很快，那么它位于最左边车道的概率是多少？

     P（左/快）=P(快/左)*P(左)/P(快)=0.9*0.2/0.4=0.45

 

例子3：

• 在所有人口中，有 1% 得了癌症。P(癌)=0.01
• 90％ 的癌症患者在接受癌症检测的血液检测结果为阳性，这意味着 90% 的可能性检测出癌症。P(阳/癌)=0.9
• 5% 的人会有误报，也就是说有 5% 的可能性，会出现该检测在人们没有癌症的时候呈现阳性结果的情况。P(阳/正常)=0.05

如果一个人的癌症检测结果为阳性，那么他患癌症的概率是多少？

P(癌/阳)=P（阳/癌）*P(癌)/P(阳)=[P（阳/癌）*P(癌)]/[P（阳/癌）*P(癌)+P（阳/正常）*P(正常)]=0.9*0.01/[0.9*0.01+0.05*0.99]

例子4：

 

步骤细分

了解解决方案的逐步细分很重要。让我们回顾一下解决方案视频中的内容。

先验概率

机器人完全不知道自己在哪里，先验概率如下

P(at red)=0.5

P(at green)=0.5

条件概率

机器人传感器不是十全十美的。 仅仅因为机器人看见 红色，并 不代表 机器人是在红色格子中。

P(see red∣at red)=0.8

P(see green∣at green)=0.8

后验概率

从先验概率和后验概率中，我们需要计算机器人看见红色之后的后验概率：

1. P(at red∣see red)

2. P(at green∣see red)

提示，贝叶斯法则如下所示:

P(A∣B)=P(B∣A)⋅P(A)​/P(B)

我们可以将贝叶斯法则中的 A 和B 替换掉，显示为：

P(at red∣see red)=P(see red∣at red)⋅P(at red)​/P(see red)

现在，我们了解先验概率和条件概率后，可以改写为：

P(at red∣see red)=0.8⋅0.5​/P(see red)

不过我们还不知道一件事！我们看见红色的概率是多少？ 答案是 0.5。我可以用两种方式来证明，一是直观预测，二是数学。

为什么 P(see red) 是0.5?

方式1：直观预测

当然是 0.5！不然呢? 机器人有 50％ 的概率认为自己在红色格子里，有50％的概率认为自己在绿色格子里。当然，它的传感器是不可靠的，但不可靠性是对称的，而不是错误地看到任何一种颜色。 所以无论看到红色的可能性是多少，这也将是看到绿色的可能性。由于这两种颜色是唯一可能的颜色，所以看到每种颜色的概率一定是 50％ ！

方式 2: 数学 （全概率法则）

机器人看到红色有以下两种情况。

1. 当机器人处于红色格子并且其传感器正常工作时。
2. 当机器人在绿色格子中，其传感器犯了一个错误。 我只需要把这两个概率加起来就可以得到红色的总概率。

P(see red)=P(at red)⋅P(see red∣at red)+P(at green)⋅P(see red∣at green)

我可以由此得出答案：

P(see red)=0.5⋅0.8+0.5⋅0.2

P(see red)=0.4+0.1

P(see red)=0.5