分块入门

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了分块入门相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

版权申明:本文转自 Monica

首先,分块是什么意思呢,顾名思义就是把要处理的东西进行分块,分成一块一块的233,举个很简单的例子,对于一个数列 size(a{ })=5,我们可以把前2个分到一起,再两个分到一起,最后单下来一个,为什么要这样处理呢?这样处理的好处又是什么呢?
我们也可以这样思考,如果我们把一个数列,当该数列的长度为n的时候,我们以根号n为一段,分出来的段数不超过根号n,如果我们要进行区间的处理,比如加法减法等,可以对于修改区间[ L , R ]可以把其中框起来的块(一块是根号n的大小)直接打上标记,由于每一块的长度不大于根号n,所以对于两边没有框起来的部分,我们直接暴力地进行更新,这样操作次数是最多2倍根号n的,而中间的标记是O(1)处理的,这就是为什么该类算法是根号级别的原因


思路看起来很清晰吧,好像很简单的样子,那么我们马上就来试试吧


以黄学长的分块学习顺序为例
(本文的所有题目,均来自黄学长,www.hzwer.com)

我们先进行区间修改单点查询操作

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<iostream>
 4 #include<cmath>
 5 #define MAXN 100000
 6 using namespace std;
 7 int a[MAXN],add[MAXN],b[MAXN],len,n,m;//add为标记
 8 void modify(int l,int r,int ad){
 9     for(register int i=l;i<=min(b[l]*len,r);i++) a[i]+=ad;
10     if(b[l]!=b[r]){//注意此处的min操作,可能会在小数据卡到你
11         for(register int i=(b[r]-1)*len+1;i<=r;i++) a[i]+=ad; 
12     }
13     for(register int i=b[l]+1;i<=b[r]-1;i++)add[i]+=ad;
14 }
15 int main(){
16     scanf("%d%d",&n,&m);
17     len=sqrt(n);
18     for(register int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
19     for(register int i=1;i<=n;i++)b[i]=(i-1)/len+1;
20     for(register int i=1;i<=m;i++){
21         int temp;
22         scanf("%d",&temp);
23         if(temp==1){
24             int l,r,ad;
25             scanf("%d%d%d",&l,&r,&ad);
26             modify(l,r,ad);
27         }else{
28             int loc;
29             scanf("%d",&loc);
30             printf("%d\n",a[loc]+add[b[loc]]);
31         }//该点的值和该店所在的区间累加的标记
32     }
33     return 0;
34 }

接下来是区间修改,区间查询小于某值的数有多少个

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath> 
#define MAXN 1000000+10
#define MINN 5000
using namespace std;
vector<int>v[MINN];
int len,a[MAXN],b[MAXN],add[MINN];
void reset(int zone){
    v[zone].clear();
    for(register int i=(zone-1)*len+1;i<=zone*len;i++) v[zone].push_back(a[i]);
    sort(v[zone].begin(),v[zone].end());
}
void modify(int l,int r,int ad){
    for(register int i=l;i<=min(b[l]*len,r);i++) a[i]+=ad;
    reset(b[l]);
    if(b[l]!=b[r]){
        for(register int i=(b[r]-1)*len+1;i<=r;i++) a[i]+=ad;
        reset(b[r]);
    }
    for(register int i=b[l]+1;i<=b[r]-1;i++) add[i]+=ad;
}
int query(int l,int r,int k){
    int cnt=0;
    for(register int i=l;i<=min(b[l]*len,r);i++){
        if(a[i]+add[b[i]]<k)cnt++;
    }
    if(b[l]!=b[r]){
        for(register int i=(b[r]-1)*len+1;i<=r;i++){
            if(a[i]+add[b[i]]<k)cnt++;
        }
    }
    for(register int i=b[l]+1;i<=b[r]-1;i++){
        int x=k-add[i];
        cnt+=lower_bound(v[i].begin(),v[i].end(),x)-v[i].begin();
    }
    return cnt;
}
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    len=sqrt(n);
    for(register int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(register int i=1;i<=n;i++){
        b[i]=(i-1)/len+1;
        v[b[i]].push_back(a[i]);
    }
    for(register int i=1;i<=b[n];i++) sort(v[i].begin(),v[i].end());
    for(register int i=1;i<=m;i++){
        int temp;
        scanf("%d",&temp);
        if(temp==1){
            int l,r,ad;
            scanf("%d%d%d",&l,&r,&ad);
            modify(l,r,ad);
        }else{
            int l,r,k;
            scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
            printf("%d\n",query(l,r,k));
        }
    }
    return 0;
}

接着是第三个问题

区间修改,查区间内某个数的前驱,如果没有则返回0

这个问题和上个问题类似,只不过由于需要查前驱,vector不能做到(只能upper _ bound和lower _ bound),而vector是支持元素可重的,这样一来无法得知其前驱(因为lower _ bound是返回第一个大于他的元素的迭代器,upper _ bound是返回值第一个大于他并且在可重范围内的最后一个数),所以只需把数据结构改成set就好了,因为set是不可重集

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<iostream>
 4 #include<set>
 5 #include<cmath> 
 6 #define MAXN 100000
 7 #define MINN 1000
 8 using namespace std;
 9 int len,n,m;
10 set<int>s[MINN];
11 int add[MINN];
12 int a[MAXN],be[MAXN];
13 void reset(int loc){
14     s[loc].clear();
15     for(register int i=(loc-1)*len+1;i<=loc*len;i++) s[loc].insert(a[i]); 
16 }
17 void modify(int from,int to,int ad){
18     for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++) a[i]+=ad;
19     reset(be[from]);
20     if(be[from]!=be[to]){
21         for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++) a[i]+=ad;
22         reset(be[to]);
23     }
24     for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++) add[i]+=ad;
25 }
26 int query(int from,int to,int k){
27     int cnt=0;
28     for(register int i=from;i<=min(be[from]*len,to);i++)if(a[i]<k)cnt=max(cnt,a[i]);
29     if(be[from]!=be[to]){
30         for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++) if(a[i]<k)cnt=max(cnt,a[i]);
31     }
32     for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++){
33         int x=k-add[i];
34         set<int>::iterator loc=s[i].lower_bound(x);
35         if(loc==s[i].begin()) continue;
36         loc--;
37         cnt=max(cnt,*loc+add[i]);
38     }
39     return cnt;
40 }
41 int main(){
42     //freopen(".txt","r",stdin);
43     //freopen(".out","w",stdout);
44     scanf("%d%d",&n,&m);
45     len=sqrt(n);
46     for(register int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
47     for(register int i=1;i<=n;i++){
48         be[i]=(i-1)/len+1;
49         s[be[i]].insert(a[i]);
50     }
51     for(register int i=1;i<=m;i++){
52         int temp;
53         scanf("%d",&temp);
54         if(temp==1){
55             int l,r,ad;
56             scanf("%d%d%d",&l,&r,&ad);
57             modify(l,r,ad);
58         }else{
59             int l,r,k;
60             scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
61             printf("%d\n",query(l,r,k));//0表示没有 
62         }
63     }
64     return 0;
65 }
66 /*
67 10 5
68 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
69 2 1 9 9
70 1 1 3 2
71 2 1 4 5
72 */

区间加法区间求和

和前面一样,打mark就行了

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<iostream>
 4 #include<cmath>
 5 #define MAXN 100000
 6 #define MINN 1000 
 7 using namespace std;
 8 int len;
 9 int n,m;
10 int a[MAXN],add[MINN],val[MINN],be[MAXN];
11 void modify(int from,int to,int ad){
12     for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++) a[i]+=ad,val[be[from]]+=ad;
13     if(be[from]!=be[to]){
14         for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++) a[i]+=ad,val[be[to]]+=ad;
15     }
16     for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++) add[i]+=ad;
17 }
18 int query(int from,int to){
19     int cnt=0;
20     for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++) cnt+=(a[i]+add[be[from]]);
21     if(be[from]!=be[to]){
22         for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++) cnt+=(a[i]+add[be[to]]);
23     }
24     for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++) cnt+=(val[i]+add[i]*len);
25     return cnt;
26 }
27 int main(){
28     //freopen(".txt","r",stdin);
29     //freopen(".out","w",stdout);
30     scanf("%d%d",&n,&m);
31     len=sqrt(n);
32     for(register int i=1;i<=n;i++)be[i]=(i-1)/len+1;
33     for(register int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),val[be[i]]+=a[i];
34     for(register int i=1;i<=m;i++){
35         int temp;
36         scanf("%d",&temp);
37         if(temp==1){
38             int f,t,ad;
39             scanf("%d%d%d",&f,&t,&ad);
40             modify(f,t,ad);
41         }else{
42             int f,t;
43             cin>>f>>t;
44             printf("%d\n",query(f,t));
45         }
46     }
47     return 0;
48 }

区间开方,区间求和

我们可以考虑一个数,在保留int的情况下,只需要几次就会开方到1或者0,所以我们只需要记录一个块是否全部是0或者1就行了,因为再进行操作不会对其进行修改

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<iostream>
 4 #include<cmath>
 5 #define MAXN 10000
 6 #define MINN 1000
 7 using namespace std;
 8 int n,m,be[MAXN],a[MAXN];
 9 int val[MINN];
10 bool flag[MAXN];
11 int len;
12 void sqrtt(int zone){
13     if(flag[zone]) return;
14     flag[zone]=true;
15     val[zone]=0;
16     for(register int i=(zone-1)*len+1;i<=zone*len;i++){
17         a[i]=sqrt(a[i]);
18         val[zone]+=a[i];
19         if(a[i]>1)flag[zone]=false;
20     }
21 }
22 void modify(int from,int to){
23     for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++){
24         val[be[from]]-=a[i];
25         a[i]=sqrt(a[i]);
26         val[be[from]]+=a[i];
27     }
28     if(be[from]!=be[to]){
29         for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++){
30             val[be[to]]-=a[i];
31             a[i]=sqrt(a[i]);
32             val[be[to]]+=a[i];
33         }
34     } 
35     for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++) sqrtt(i);
36 }
37 int query(int from,int to){
38     int cnt=0;
39     for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++) cnt+=a[i];
40     if(be[from]!=be[to]){
41         for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++) cnt+=a[i];
42     }
43     for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++) cnt+=val[i];
44     return cnt;
45 }
46 int main(){
47     //freopen("sqrt.txt","r",stdin);
48     //ios::sync_with_stdio(false);
49     cin>>n>>m;
50     len=sqrt(n);
51     for(register int i=1;i<=n;i++) be[i]=(i-1)/len+1; 
52     for(register int i=1;i<=n;i++){
53         scanf("%d",&a[i]);
54         val[be[i]]+=a[i]; 
55     }
56     for(register int i=1;i<=m;i++){
57         int temp;
58         scanf("%d",&temp);
59         if(temp==1){
60             int f,t;
61             cin>>f>>t;
62             modify(f,t);
63         }else{
64             int f,t;
65             cin>>f>>t;
66             printf("%d\n",query(f,t));
67         }
68     }
69     return 0;
70 }

区间乘法,区间加法和区间查询

其实这道题有一个更简单的做法,把乘法转化为加法,比如乘n可以想成加这个数的n-1倍,注意程序中mul(乘法)lazy数组和add(加法)lazy数组的转化

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<iostream>
 4 #include<cmath>
 5 #define MAXN 100000
 6 #define MINN 1000
 7 using namespace std;
 8 
 9 int n,m,be[MAXN],a[MAXN];
10 int val[MINN],mark[MINN];
11 int len;
12 void reset(int zone){
13     if(mark[zone]==-1) return;
14     for(register int i=(zone-1)*len+1;i<=zone*len;i++) a[i]=mark[zone];
15     mark[zone]=-1;
16 } 
17 int solve(int from,int to,int c){
18     int cnt=0;
19     reset(be[from]);
20     for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++){
21         if(a[i]==c) cnt++;
22         else a[i]=c;
23     }
24     if(be[from]!=be[to]){
25         reset(be[to]);
26         for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++){
27             if(a[i]==c) cnt++;
28             else a[i]=c;
29         }
30     }
31     for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++){
32         if(mark[i]!=-1){
33             if(mark[i]==c){
34                 cnt+=len;
35             }else{
36                 mark[i]=c;
37             }
38         }else{
39             for(register int j=(i-1)*len+1;j<=i*len;j++){
40                 if(a[j]==c) cnt++;
41                 else a[j]=c;
42             }
43         }
44     }
45     return cnt;
46 }
47 int main(){
48     //freopen("query.txt","r",stdin);
49     cin>>n>>m;
50     len=sqrt(n);
51     memset(mark,-1,sizeof(mark));
52     for(register int i=1;i<=n;i++) be[i]=(i-1)/len+1;
53     for(register int i=1;i<=n;i++){
54         scanf("%d",&a[i]);
55         val[be[i]]+=a[i];
56     }
57     for(register int i=1;i<=m;i++){
58         int f,t,c;
59         scanf("%d%d%d",&f,&t,&c);
60         printf("%d\n",solve(f,t,c));
61     }
62     return 0;
63 }
64 /*
65 5 6
66 1 2 3 4 5
67 1 3 2
68 // 1->2 2 2 4 5
69 1 4 2
70 // 3->2 2 2 2 5
71 1 2 3
72 // 0->3 3 2 2 5
73 1 5 2
74 // 2->2 2 2 2 2
75 1 2 4
76 // 0->4 4 2 2 2
77 2 5 4
78 // 1-> 4 4 4 4 4
79 */

最后一个是求区间众数

注意其中的lower_bound和upper _bound的操作,非常的巧妙,可以算出该区间该数为多少个,程序中的二元数组则是代表第i个块到第j个块的众数

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #include<vector>
 5 #include<cstring>
 6 #include<iostream>
 7 #include<algorithm>
 8 #include<map>
 9 #define MAXN 50000+10
10 #define MINN 500+10
11 using namespace std;
12 map<int,int>m;
13 vector<int>v[MAXN];
14 int val[MAXN];
15 int len,n,mm;
16 int cnt[MINN][MINN];
17 int ccnt;
18 int rock[MAXN];
19 int a[MAXN],be[MAXN];
20 void pre(int zone){
21     memset(rock,0,sizeof(rock));
22     int maxn=0,loc=0;
23     for(register int i=(zone-1)*len+1;i<=n;i++){
24         rock[a[i]]++;
25         if(rock[a[i]]>maxn||(rock[a[i]]==maxn&&val[a[i]]<val[loc])){
26             loc=a[i];
27             maxn=rock[a[i]];
28         }
29         cnt[zone][be[i]]=loc;
30     }
31 }
32 int query(int from,int to,int x){
33     int temp=upper_bound(v[x].begin(),v[x].end(),to)-lower_bound(v[x].begin(),v[x].end(),from);
34     return temp;
35 }
36 int query(int from,int to){
37     int ans=cnt[be[from]+1][be[to]-1];
38     int maxn=query(from,to,ans);
39     for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++){
40         int temp=query(from,to,a[i]);
41         if(temp>maxn||(temp==maxn&&val[a[i]]<val[ans])){
42             ans=a[i];
43             maxn=temp;
44         }
45     }
46     if(be[from]!=be[to]){
47         for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++){
48             int temp=query(from,to,a[i]);
49             if(temp>maxn||(temp==maxn&&val[a[i]]<val[ans])){
50                 ans=a[i];
51                 maxn=temp;
52             }
53         }
54     }
55     return ans;
56 }
57 int main(){
58     //freopen("txt.txt","r",stdin);
59     scanf("%d%d",&n,&mm);
60     len=sqrt(n);
61     int ans=0;
62     for(register int i=1;i<=n;i++) be[i]=(i-1)/len+1;
63     for(register int i=1;i<=n;i++){
64         scanf("%d",&a[i]);
65         if(!m[a[i]]){
66             m[a[i]]=++ccnt;
67             val[ccnt]=a[i];//注意这里的离散化并不是需要排序,而只是给每一个数一个编号 
68         }
69         a[i]=m[a[i]];//给数列的每个数一个编号 
70         v[a[i]].push_back(i);//该编号的数的位置加入一个i 
71     }
72     for(register int i=1;i<=be[n];i++) pre(i);//对每个块进行pre操作 
73     for(register int i=1;i<=mm;i++){
74         int aa,bb;
75         scanf("%d%d",&aa,&bb);
76         aa=(aa+ans-1)%n+1;bb=(bb+ans-1)%n+1;
77         if(aa>bb)swap(aa,bb);
78         ans=val[query(aa,bb)];
79         printf("%d\n",ans);
80     }
81     return 0;
82 }
83 /*
84 20 3
85 1 0 25 14 34 1 25 25 48 8 4 4 9 8 2 2 3 3 3 10
86 1 20
87 10 16
88 4 8
89 */

以上是关于分块入门的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

LiberOJ 6278 数列分块入门 2(分块)

loj#6281. 数列分块入门 5

Loj 6285. 数列分块入门 9

LibreOJ 6278 数列分块入门 2(分块区间加法,二分)

数列分块入门7 解题报告

数列分块入门9 解题报告