最小二乘法拟合圆转

Posted 2020-10-30 留下我美梦

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了最小二乘法拟合圆转相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

有一系列的数据点 ${x_{i}, y_{i}}$

我们知道圆方程可以写为：

(x ? x c) 2 + (y ? y c) 2 = R 2

通常的最小二乘拟合要求距离的平方和最小。也就是

f = \sum ((x i ? x c) 2 + (y i ? y c) 2??????????????????\sqrt ? R) 2

最小。这个算起来会很麻烦。也得不到解析解。所以我们退而求其次。

f = \sum ((x i ? x c) 2 + (y i ? y c) 2 ? R 2) 2

这个式子要简单的多。我们定义一个辅助函数：

g (x, y) = (x ? x c) 2 + (y ? y c) 2 ? R 2

那么上面的式子可以表示为：

f = \sum g (x i, y i) 2

按照最小二乘法的通常的步骤，可知 $f$

? f ? x c = 0 ? f ? y c = 0 ? f ? R = 0

先来化简 $\frac{\partial f}{\partial R} = 0$

? f ? R = ? 2 R \times \sum ( ( x i ? x c ) 2 + ( y i ? y c

我们知道半径 $R$

\sum g (x i, y i) = 0

这是个非常有用的结论。剩下的两个式子：

? f ? x c = ? 4 \sum ( ( x i ? x c ) 2 + ( y

也就是下面两个等式：

\sum x i g (x i, y i) = 0 \sum y i g (x i, y i) = 0

这里设：

u i = x i ? x ˉ

其中：

x ˉ = \sum x i / N

那么简单的推导一下，就会发现：

\sum u i g (u i, v i) = 0 \sum v i g (u i, v i) = 0

其实都不需要推导，这个变量替换只不过是修改了坐标原点的位置。而我们的等式根本就与坐标原点的具体位置无关。所以必然成立。

这两个式子展开写是这样的：

\sum ((u i ? u c) 2 + (v i ? v c) 2 ? R 2) u i = 0

进一步展开：

\sum (u 3 i ? 2 u 2 i u c + u i u 2 c + u i v 2 i ? 2 u i v i v c +

我们知道 $\sum u_{i} = 0$

\sum (u 3 i ? 2 u 2 i u c + u i v 2 i ? 2 u i v i v c) = 0

为了简化式子，我们定义几个参数：

S u u u = \sum u 3 i

那么上面的式子可以写为：

S u u u c + S u v v c = S u u u + S u v v 2

至此，就可以解出 $u_{c}$

u c = S u u v S u v ? S u u u S v v ? S u v v S v

那么：

x c = u c + x ˉ

还剩下个 $R$

\sum g (x i, y i) = 0

所以：

R 2 = \sum ((x i ? x c) 2 + (y i ? y c) 2)

好了。下面给出个代码，这个代码的具体公式和我这里给出的有一点小差异，但是原理是相同的。

/**
 * 最小二乘法拟合圆
 * 拟合出的圆以圆心坐标和半径的形式表示
 * 此代码改编自 newsmth.net 的 jingxing 在 Graphics 版贴出的代码。
 * 版权归 jingxing， 我只是搬运工外加一些简单的修改工作。
 */
typedef complex<int> POINT;
bool circleLeastFit(const std::vector<POINT> &points, double &center_x, double &center_y, double &radius)
{
     center_x = 0.0f;
     center_y = 0.0f;
     radius = 0.0f;
     if (points.size() < 3)
     {
         return false;
     }

     double sum_x = 0.0f, sum_y = 0.0f;
     double sum_x2 = 0.0f, sum_y2 = 0.0f;
     double sum_x3 = 0.0f, sum_y3 = 0.0f;
     double sum_xy = 0.0f, sum_x1y2 = 0.0f, sum_x2y1 = 0.0f;

     int N = points.size();
     for (int i = 0; i < N; i++)
     {
         double x = points[i].real();
         double y = points[i].imag();
         double x2 = x * x;
         double y2 = y * y;
         sum_x += x;
         sum_y += y;
         sum_x2 += x2;
         sum_y2 += y2;
         sum_x3 += x2 * x;
         sum_y3 += y2 * y;
         sum_xy += x * y;
         sum_x1y2 += x * y2;
         sum_x2y1 += x2 * y;
     }

     double C, D, E, G, H;
     double a, b, c;

     C = N * sum_x2 - sum_x * sum_x;
     D = N * sum_xy - sum_x * sum_y;
     E = N * sum_x3 + N * sum_x1y2 - (sum_x2 + sum_y2) * sum_x;
     G = N * sum_y2 - sum_y * sum_y;
     H = N * sum_x2y1 + N * sum_y3 - (sum_x2 + sum_y2) * sum_y;
     a = (H * D - E * G) / (C * G - D * D);
     b = (H * C - E * D) / (D * D - G * C);
     c = -(a * sum_x + b * sum_y + sum_x2 + sum_y2) / N;

     center_x = a / (-2);
     center_y = b / (-2);
     radius = sqrt(a * a + b * b - 4 * c) / 2;
     return true;
}