分类器的性能评估

Posted 2020-10-29 wen_hust

1. 背景

当我们使用一个分类器进行预测时，我们会遇到一个很重要的问题：如何评价这个分类器的预测效果？这里我构造一个场景作为例子来说明。

现在有10个人，其中1个人有感冒症状，9个人没有感冒症状。现在让医生进行诊断，判断哪些人有感冒，哪些人没有？

医生A的诊断结果是：原本有感冒的那个人被诊断为没有感冒，而没有感冒的9个人当中有8个人被正确判定，有1个人被误诊为有感冒。

在这个例子中，医生就相当于一个分类器，我们现在要对他的诊断结果进行评估。通常情况下，我们可能会使用准确率（accuracy）对预测效果进行评估，准确率被定义为：对于给定的测试数据集，分类器正确分类的样本数与总样本数之比。

因此，医生A的正确率为：$\mathrm{8/10=80\%8/10=80\%。}$

假设另外一个医生B，他未经思考，将所有人都判定为没有感冒，而他的准确率为：$\mathrm{9/10=90\%9/10=90\%。显然，仅仅通过准确率来评估医生的诊断结果是不靠谱的，这时，我们就需要使用其他指标进行评估了。在本文中，我们主要讨论二分类器的性能评估。}$

2. 混淆矩阵

混淆矩阵（Confusion Matrix）用于把实际样本值（true class）和模型预测值（predicted class）进行联列表分析。在二类分类的问题中，我们一般会把样本分为正类（或正例）和负类（负例），正类通常指我们在分类问题中所关注的类，比如在上面的例子中，感冒是我们所关注的，因此它是正类。一般我们可以用-1表示负类，+1表示正类。

	-1 （实际）	+1 （实际）
-1（预测）	True negative （TN 真负例）	False negative（FN假负例）
+1（预测）	False positive（FP假正例）	True positive （TP真正例）

其中，各个数据的含义如下：

	含义
TN	模型将负类（实际）预测为负类的样本数
FN	模型将正类（实际）预测为负类的样本数
FP	模型将负类（实际）预测为正类的样本数
TP	模型将正类（实际）预测为正类的样本数

由上面的表格可以知道，实际样本的的负类数为$\mathrm{N=TN+FPN=TN+FP；正类数为P=FN+TPP=FN+TP；总样本数为C=N+pC=N+p。}$

对于上面的例子，我们可以用如下表格展示医生A的诊断结果：

	-1 （实际没有感冒）	+1 （实际有感冒）
-1（预测没有感冒）	8 （TN 真负例）	1（FN假负例）
+1（预测有感冒）	1（FP假正例）	0 （TP真正例）

下面，我们给出一些指标的形式化定义：

• 准确率（accuracy）
  $$\mathrm{accuracy=TP+TNP+Naccuracy=TP+TNP+N准确率用于描述模型正确分类的样本数与总样本数之比。}$$
• 精确率（precision）
  $$\mathrm{precision=TPTP+FPprecision=TPTP+FP精确率用于描述模型预测正确的正样本数（TP）与模型预测的正样本数（TP+FP）之比，可以衡量模型预测正样本的准确性。}$$
• 召回率（recall）
  $$\mathrm{recall=TPTP+FNrecall=TPTP+FN召回率用于描述模型预测正确的正样本数（TP）与实际正样本数（TP+FN）之比，可以衡量模型预测正样本的可信性。}$$
• F1-measure
  精确率和召回率可以合并成为另一个度量，称为${\mathrm{F1F1度量，它是精确率和召回率的调和均值：2F1=1precision+1recall2F1=1precision+1recallF1=2TP2TP+FP+FNF1=2TP2TP+FP+FNF1指标用于综合考虑精确率和召回率。}}^{}$

3. ROC曲线

除了使用上面的准确率、精确率等指标，针对只关注正例的分类器指标，更常用的是ROC（Receiver Operating Characteristic，受试者特征）曲线和AUC（Area Under Curve）。

在定义ROC之前，我们先定义以下两个指标：

• False Positive Rate（FRP，假正率）
  FRP用于描述在所有实际为负例（N=TN+FP）的样本中，被错误地判断为正例（FP）的比例，即
  $$\mathrm{FPR=FPFP+TNFPR=FPFP+TN}$$
• True Positive Rate（TPR，真正率）
  TPR用于描述在所有实际为正例（P=TP+FN）的样本中，被正确地判断为正例（TP）的比例，即
  $$\mathrm{TPR=TPTP+FNTPR=TPTP+FN}$$

对于二类分类的问题，一些分类器得到的结果往往不是0，1或-1，+1这样的标签，比如逻辑斯谛回归，它会得到一个概率值，通过与设定的阈值进行比较，可以0，1这样的标签。我们改变分类器的阈值，每改变一次，就会得到一对$\mathrm{FPRFPR和TPRTPR的值，以FPRFPR为横轴，TPRTPR为纵轴，就得到如下的ROC空间：}$

ROC
图片来源：修改自wikipedia

我们可以看出，左上角的点（FPR=0,TPR=1），为完美分类；对角线上方的点（TPR > FPR），比如点A表示分类大体是正确的；而对角线上的点（TPR=FPR），比如点B，表示错一半，对一半；而对角线下方的点（TPR < FPR），比如点C表示分类大体是错误的。ROC曲线距离左上角越近，则分类器的效果越好。使用ROC曲线来衡量所考虑的目的是：在尽量少的”误诊“（假正率FPR）基础上，尽可能多地检验出正例的个体（真正率TPR）。

4. AUC

如果ROC曲线经过点(0,1)，即FPR=0，TPR=1，则表示为最优的分类器，然而绝大多数的ROC曲线并非如此，此时可通过引入ROC曲线下的面积AUC（Area Under Curve）来衡量不同模型间ROC曲线的表现情况。AUC面积越大，该模型的ROC曲线表现越好，模型越可用。

• $\mathrm{AUC=1AUC=1完美分类器，能正确将正例和负例进行划分}$
• $\mathrm{0.5<AUC<10.5<AUC<1比随机猜测好，通过设定一个好的阈值，才能得到好的分类效果}$
• $\mathrm{AUC=0.5AUC=0.5跟随机猜测一样，模型没有预测价值}$
• $\mathrm{AUC<0.5AUC<0.5比随机猜测差，在这种情况下，可以对结果取反}$

5. 参考资料

• 统计学习方法，李航 著
• http://alexkong.net/2013/06/introduction-to-auc-and-roc/
• https://argcv.com/articles/1036.c
• http://blog.csdn.net/ice110956/article/details/20288239
• 数据挖掘导论，Pang-Ning Tan 等著，范明 等译