CDQ的论文
以下纯属复制论文，避免以后再看一次
一些概念
子图
点集和边集都是原图的子集的图
诱导子图
是子图，不含其它边
团
子图，并且是完全图
极大团
不是任何一个团的子图
最大团
点数最多的团
最小染色
用最少的颜色染给每个点，使相邻点不同色
最大独立集
不相邻的最大点集
最小团覆盖
最少的团覆盖所有点
显然的结论
团数\(\le\)色数
最大独立集\(\le\)最小团覆盖
弦
连接环内两个不相邻的点的边
弦图
任意大于三的环都至少有一条弦
结论1
弦图的诱导子图是弦图
单纯点
设\(N(v)\)为\(v\)相邻的点集
\(v\)为单纯点当且仅当\({v}+N(v)\)的诱导子图为团
结论2
任何一个弦图至少一个单纯点
不是完全图的弦图至少两个
完美消除序列
每个点正好出现一次的序列\({v_1, v_2, ..., v_n}\)
满足\(v_i\)在\({v_i, v_{i+1}, ..., v_n}\)的诱导子图中为单纯点
结论3
一个无向图为弦图当且仅当它有一个完美消除序列
证明
略看论文
结论5
团数\(=\)色数
最大独立集\(=\)最小团覆盖
证明
略看论文
求解
求完美消除序列
不想学什么\(Lex BFS\)的方法，自己看论文
还是\(MCS\)最大势算法好：
按\(n...1\)的顺序给点标号
标号为\(i\)的点为完美消除序列的第\(i\)个
设\(label[i]\)表示与多少个已经标号的点相邻
每次找\(label\)最大的点标号
复杂度\(O(n+m)\)
判断一个序列是否为完美消除序列
设在\(v_i,v_{i+1}..v_n\)中，与\(v_i\)相邻的点依次为\(v_{j1}...v_{jk}\)
只需要判断\(v_{j1}\)是否与\(v_{j2}..v_{jk}\)相邻即可
复杂度\(O(n+m)\)
最少的颜色给所有点染色&团数
完美消除序列逆序，贪心
每次给一个点染色可以染的最小的颜色
最大独立集&最小团覆盖
完美消除序列中，贪心，能选就选
题目
[HNOI2008]神奇的国度
[TJOI2007]小朋友
[ZOJ1015]Fishing Net