树的特征和定义
树(Tree)是元素的集合。我们先以比较直观的方式介绍树。下面的数据结构是一个树：
树有多个节点(node)，用以储存元素。某些节点之间存在一定的关系，用连线表示，连线称为边(edge)。边的上端节点称为父节点，下端称为子节点。树像是一个不断分叉的树根。
每个节点可以有多个子节点(children)，而该节点是相应子节点的父节点(parent)。比如说，3,5是6的子节点，6是3,5的父节点；1,8,7是3的子节点, 3是1,8,7的父节点。树有一个没有父节点的节点，称为根节点(root)，如图中的6。没有子节点的节点称为叶节点(leaf)，比如图中的1,8,9,5节点。
从图中还可以看到，上面的树总共有4个层次，6位于第一层，9位于第四层。树中节点的最大层次被称为深度。也就是说，该树的深度(depth)为4。
如果我们从节点3开始向下看，而忽略其它部分。那么我们看到的是一个以节点3为根节点的树：
三角形代表一棵树
再进一步，如果我们定义孤立的一个节点也是一棵树的话，原来的树就可以表示为根节点和子树(subtree)的关系:
上述观察实际上给了我们一种严格的定义树的方法：
-
树是元素的集合。
-
该集合可以为空。这时树中没有元素，我们称树为空树 (empty tree)。
-
如果该集合不为空，那么该集合有一个根节点，以及0个或者多个子树。根节点与它的子树的根节点用一个边(edge)相连。
上面的第三点是以递归的方式来定义树，也就是在定义树的过程中使用了树自身(子树)。由于树的递归特征，许多树相关的操作也可以方便的使用递归实现。我们将在后面看到。
(上述定义来自"Data Structures and Algorithm Analysis in C, by Mark Allen Weiss"。 我觉得有一点不太严格的地方。如果说空树属于树，第三点应该是 “...以及0个和多个非空子树...” )
树的实现
树的示意图已经给出了树的一种内存实现方式: 每个节点储存元素和多个指向子节点的指针。然而，子节点数目是不确定的。一个父节点可能有大量的子节点，而另一个父节点可能只有一个子节点，而树的增删节点操作会让子节点的数目发生进一步的变化。
这种不确定性就可能带来大量的内存相关操作，并且容易造成内存的浪费。
一种经典的实现方式如下:
树的内存实现
拥有同一父节点的两个节点互为兄弟节点(sibling)。上图的实现方式中，每个节点包含有一个指针指向第一个子节点，并有另一个指针指向它的下一个兄弟节点。这样，我们就可以用统一的、确定的结构来表示每个节点。
计算机的文件系统是树的结构，比如Linux文件管理背景知识中所介绍的。在UNIX的文件系统中，每个文件(文件夹同样是一种文件)，都可以看做是一个节点。非文件夹的文件被储存在叶节点。
文件夹中有指向父节点和子节点的指针(在UNIX中，文件夹还包含一个指向自身的指针，这与我们上面见到的树有所区别)。在git中，也有类似的树状结构，用以表达整个文件系统的版本变化 (参考版本管理三国志)。
文件树
二叉搜索树的C实现
二叉树(binary)是一种特殊的树。二叉树的每个节点最多只能有2个子节点：
二叉树
由于二叉树的子节点数目确定，所以可以直接采用上图方式在内存中实现。每个节点有一个左子节点(left children)和右子节点(right children)。左子节点是左子树的根节点，右子节点是右子树的根节点。
如果我们给二叉树加一个额外的条件，就可以得到一种被称作二叉搜索树(binary search tree)的特殊二叉树。二叉搜索树要求：每个节点都不比它左子树的任意元素小，而且不比它的右子树的任意元素大。
(如果我们假设树中没有重复的元素，那么上述要求可以写成：每个节点比它左子树的任意节点大，而且比它右子树的任意节点小)
二叉搜索树，注意树中元素的大小
二叉搜索树可以方便的实现搜索算法。在搜索元素x的时候，我们可以将x和根节点比较:
-
如果x等于根节点，那么找到x，停止搜索 (终止条件)
-
如果x小于根节点，那么搜索左子树
-
如果x大于根节点，那么搜索右子树
二叉搜索树所需要进行的操作次数最多与树的深度相等。n个节点的二叉搜索树的深度最多为n，最少为log(n)。
下面是用C语言实现的二叉搜索树，并有搜索，插入，删除，寻找最大最小节点的操作。每个节点中存有三个指针，一个指向父节点，一个指向左子节点，一个指向右子节点。
(这样的实现是为了方便。节点可以只保存有指向左右子节点的两个指针，并实现上述操作。)
删除节点相对比较复杂。删除节点后，有时需要进行一定的调整，以恢复二叉搜索树的性质(每个节点都不比它左子树的任意元素小，而且不比它的右子树的任意元素大)。
-
叶节点可以直接删除。
-
删除非叶节点时，比如下图中的节点8，我们可以删除左子树中最大的元素(或者右树中最大的元素)，用删除的节点来补充元素8产生的空缺。但该元素可能也不是叶节点，所以它所产生的空缺需要其他元素补充…… 直到最后删除一个叶节点。上述过程可以递归实现。
删除节点后的二叉搜索树
/* By Vamei */
/* binary search tree */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
typedef struct node *position;
typedef int ElementTP;
struct node {
position parent;
ElementTP element;
position lchild;
position rchild;
};
/* pointer => root node of the tree */
typedef struct node *TREE;
void print_sorted_tree(TREE);
position find_min(TREE);
position find_max(TREE);
position find_value(TREE, ElementTP);
position insert_value(TREE, ElementTP);
ElementTP delete_node(position);
static int is_root(position);
static int is_leaf(position);
static ElementTP delete_leaf(position);
static void insert_node_to_nonempty_tree(TREE, position);
void main(void)
{
TREE tr;
position np;
ElementTP element;
tr = NULL;
tr = insert_value(tr, 18);
tr = insert_value(tr, 5);
tr = insert_value(tr, 2);
tr = insert_value(tr, 8);
tr = insert_value(tr, 81);
tr = insert_value(tr, 101);
printf("Original:\\n");
print_sorted_tree(tr);
np = find_value(tr, 8);
if(np != NULL) {
delete_node(np);
printf("After deletion:\\n");
print_sorted_tree(tr);
}
}
/*
* print values of the tree in sorted order
*/
void print_sorted_tree(TREE tr)
{
if (tr == NULL) return;
print_sorted_tree(tr->lchild);
printf("%d \\n", tr->element);
print_sorted_tree(tr->rchild);
}
/*
* search for minimum value
* traverse lchild
*/
position find_min(TREE tr)
{
position np;
np = tr;
if (np == NULL) return NULL;
while(np->lchild != NULL) {
np = np->lchild;
}
return np;
}
/*
* search for maximum value
* traverse rchild
*/
position find_max(TREE tr)
{
position np;
np = tr;
if (np == NULL) return NULL;
while(np->rchild != NULL) {
np = np->rchild;
}
return np;
}
/*
* search for value
*
*/
position find_value(TREE tr, ElementTP value)
{
if (tr == NULL) return NULL;
if (tr->element == value) {
return tr;
}
else if (value < tr->element) {
return find_value(tr->lchild, value);
}
else {
return find_value(tr->rchild, value);
}
}
/*
* delete node np
*/
ElementTP delete_node(position np)
{
position replace;
ElementTP element;
if (is_leaf(np)) {
return delete_leaf(np);
}
else {
/* if a node is not a leaf, then we need to find a replacement */
replace = (np->lchild != NULL) ? find_max(np->lchild) : find_min(np->rchild);
element = np->element;
np->element = delete_node(replace);
return element;
}
}
/*
* insert a value into the tree
* return root address of the tree
*/
position insert_value(TREE tr, ElementTP value) {
position np;
/* prepare the node */
np = (position) malloc(sizeof(struct node));
np->element = value;
np->parent = NULL;
np->lchild = NULL;
np->rchild = NULL;
if (tr == NULL) tr = np;
else {
insert_node_to_nonempty_tree(tr, np);
}
return tr;
}
//=============================================
/*
* np is root?
*/
static int is_root(position np)
{
return (np->parent == NULL);
}
/*
* np is leaf?
*/
static int is_leaf(position np)
{
return (np->lchild == NULL && np->rchild == NULL);
}
/*
* if an element is a leaf,
* then it could be removed with no side effect.
*/
static ElementTP delete_leaf(position np)
{
ElementTP element;
position parent;
element = np->element;
parent = np->parent;
if(!is_root(np)) {
if (parent->lchild == np) {
parent->lchild = NULL;
}
else {
parent->rchild = NULL;
}
}
free(np);
return element;
}
/*
* insert a node to a non-empty tree
* called by insert_value()
*/
static void insert_node_to_nonempty_tree(TREE tr, position np)
{
/* insert the node */
if(np->element <= tr->element) {
if (tr->lchild == NULL) {
/* then tr->lchild is the proper place */
tr->lchild = np;
np->parent = tr;
return;
}
else {
insert_node_to_nonempty_tree(tr->lchild, np);
}
}
else if(np->element > tr->element) {
if (tr->rchild == NULL) {
tr->rchild = np;
np->parent = tr;
return;
}
else {
insert_node_to_nonempty_tree(tr->rchild, np);
}
}
}
运行结果:
Original:
2
5
8
18
81
101
After deletion:
2
5
18
81
101
上述实现中的删除比较复杂。有一种简单的替代操作，称为懒惰删除(lazy deletion)。在懒惰删除时，我们并不真正从二叉搜索树中删除该节点，而是将该节点标记为“已删除”。
这样，我们只用找到元素并标记，就可以完成删除元素了。如果有相同的元素重新插入，我们可以将该节点找到，并取消删除标记。
懒惰删除的实现比较简单，可以尝试一下。树所占据的内存空间不会因为删除节点而减小。懒惰节点实际上是用内存空间换取操作的简便性。
总结
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树, 二叉树, 二叉搜索树
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二叉搜索树的删除
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懒惰删除