51NOD-1486 大大走格子

Posted 2020-10-29 litos

有一个h行w列的棋盘，里面有一些格子是不能走的，现在要求从左上角走到右下角的方案数。

Input

单组测试数据。 
第一行有三个整数h, w, n(1 ≤ h, w ≤ 10^5, 1 ≤ n ≤ 2000)，表示棋盘的行和列，还有不能走的格子的数目。 
接下来n行描述格子，第i行有两个整数ri, ci (1 ≤ ri ≤ h, 1 ≤ ci ≤ w)，表示格子所在的行和列。 
输入保证起点和终点不会有不能走的格子。

Output

输出答案对1000000007取余的结果。

Sample Input

3 4 2
2 2
2 3

Sample Output

2

题目链接 

分析
从左上角(1,1)走到(x,y)的方案数为C(x-1+y-1,x-1)。设d[i]为到达第i个黑点且中间不经过任何黑点的方案数。则有d[i]=C(xi+yi-2,xi-1)-
d[j]*C(xi+yi-xj-yj,xi-yi)(xj<xi,yj<yi).然后令第n+1个黑点为(h,w)，答案即为d[n+1]。为什么这样是正确的呢？
对于一个黑点，可能可以由另外的黑点到达。实际上枚举时总是从第一个能经过的黑点出发，每个黑点会对目的黑点的值有影响，
贡献为该黑点的值乘上从该黑点走到目的黑点的方案数。（因为只要经过黑点就是非法的，所以后面没有限制，直接走就好了）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <vector>
typedef long long LL;
const int maxn = 2e5+5;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1000000007;
using namespace std;


LL fact[maxn],inv[maxn];
struct node{
    int x,y;
}p[2020];
LL _inv(int x){
    if(x==1) return 1;
    return (mod-mod/x)*_inv(mod%x)%mod;
}
void init(){
    fact[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++){
        fact[i]=(fact[i-1]*i)%mod;
    }
    for(int i=0;i<maxn;i++){
        inv[i]=_inv(fact[i]);
    }
}
LL C(int a,int b){
    if(a<b) return 0;
    return ((fact[a]*inv[b])%mod*inv[a-b])%mod;
}
int cmp(node a,node b){
    if(a.x==b.x) return a.y<b.y;
    return a.x<b.x;
}
LL d[2020];

int main(){
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
    init();
    
    int h,w,n;
    scanf("%d%d%d",&h,&w,&n);

    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);


    sort(p,p+n,cmp);
    p[n].x=h,p[n].y=w;
    n++;
    
    for(int i=0;i<n;i++){
        d[i]=C(p[i].x+p[i].y-2,p[i].x-1);
        for(int j=0;j<i;j++){
            if(p[i].y>=p[j].y&&p[i].x>=p[j].x){
                d[i] -= (d[j]*C(p[i].x+p[i].y-p[j].x-p[j].y,p[i].x-p[j].x))%mod;
                if(d[i]<0){
                    d[i]+=mod;
                }
            }
        }
    }
    cout<<d[n-1];
    return 0;
}