题目描述
Fib定义为Fib(0)=0,Fib(1)=1,对于n≥2,Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2)
现给出N，求Fib(2^n).
输入
本题有多组数据。第一行一个整数T，表示数据组数。
接下来T行每行一个整数N，含义如题目所示。
n≤10^15, T≤5
输出
输出共T行，每行一个整数为所求答案。
由于答案可能过大，请将答案mod 1125899839733759后输出
样例输入
2
2
31
样例输出
3
343812777493853
题解
费马小定理+矩阵乘法
傻逼题，根据费马小定理，指数在模 $p-1$ 意义下相等时幂数相等。
因此求出 $2^n$ 在模 $p-1$ 意义下的结果，再用矩阵乘法维护fib数列，求矩阵的 $2^n\ \text{mod}\ (p-1)$ 次幂即可。
模数较大因此使用快（man）速乘，时间复杂度 $O(\log^2n)$ 。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define mod 1125899839733759
typedef long long ll;
inline ll mul(ll x , ll y , ll p)
{
ll ans = 0;
while(y)
{
if(y & 1) ans = (ans + x) % p;
x = (x + x) % p , y >>= 1;
}
return ans;
}
inline ll pow(ll x , ll y , ll p)
{
ll ans = 1;
while(y)
{
if(y & 1) ans = mul(ans , x , p);
x = mul(x , x , p) , y >>= 1;
}
return ans;
}
struct data
{
ll v[2][2];
data() {memset(v , 0 , sizeof(v));}
ll *operator[](int a) {return v[a];}
data operator*(data a)
{
data ans;
int i , j , k;
for(i = 0 ; i < 2 ; i ++ )
for(k = 0 ; k < 2 ; k ++ )
for(j = 0 ; j < 2 ; j ++ )
ans[i][j] = (ans[i][j] + mul(v[i][k] , a[k][j] , mod)) % mod;
return ans;
}
data operator^(ll y)
{
data x = *this , ans;
ans[0][0] = ans[1][1] = 1;
while(y)
{
if(y & 1) ans = ans * x;
x = x * x , y >>= 1;
}
return ans;
}
}A;
int main()
{
int T;
scanf("%d" , &T);
while(T -- )
{
ll n;
scanf("%lld" , &n) , n = pow(2 , n , mod - 1);
A[0][0] = 0 , A[0][1] = A[1][0] = A[1][1] = 1 , A = A ^ n;
printf("%lld\n" , A[1][0]);
}
return 0;
}