[BZOJ4824][CQOI2017]老C的键盘(树形DP)

Posted 2020-10-29 HocRiser

4824: [Cqoi2017]老C的键盘

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Description

老 C 是个程序员。    

作为一个优秀的程序员,老 C 拥有一个别具一格的键盘,据说这样可以大幅提升写程序的速度,还能让写出来的程序

在某种神奇力量的驱使之下跑得非常快。小 Q 也是一个程序员。有一天他悄悄潜入了老 C 的家中,想要看看这个

键盘究竟有何妙处。他发现,这个键盘共有n个按键,这n个按键虽然整齐的排成一列,但是每个键的高度却互不相同

。聪明的小 Q 马上将每个键的高度用 1 ~ n 的整数表示了出来,得到一个 1 ~ n 的排列 h1, h2,..., hn 。为了

回去之后可以仿造一个新键盘(新键盘每个键的高度也是一个 1 ~ n 的排列),又不要和老 C 的键盘完全一样,小 Q

 决定记录下若干对按键的高度关系。作为一个程序员,小 Q 当然不会随便选几对就记下来,而是选了非常有规律的

一些按键对:对于 i =2,3, ... , n,小 Q 都记录下了一个字符<或者>,表示 h_[i/2] < h_i 或者h _[i/2] > h_i 

。于是,小 Q 得到了一个长度为n ? 1的字符串,开开心心的回家了。现在,小 Q 想知道满足他所记录的高度关系的

键盘有多少个。虽然小 Q 不希望自己的键盘和老 C 的完全相同,但是完全相同也算一个满足要求的键盘。答案可

能很大,你只需要告诉小 Q 答案 mod 1,000,000,007 之后的结果即可。

Input

输入共 1 行,包含一个正整数 n 和一个长度为 n ? 1 的只包含<和>的字符串,分别表示键

盘上按键的数量,和小 Q 记录的信息,整数和字符串之间有一个空格间隔。

Output

输出共 1 行,包含一个整数,表示答案 mod 1,000,000,007后的结果。    

Sample Input

5 <>><

Sample Output

3
共5个按键,第1个按键比第2个按键矮,第1个按键比第3个按键高,第2个按键比第4个
按键高,第2个按键比第5个按键矮。
这5个按键的高度排列可以是 2,4,1,3,5 , 3,4,1,2,5 , 3,4,2,1,5 。

HINT

Source

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同[BZOJ3167][P4099][HEOI2013]SAO(树形DP)

完全二叉树反而好做些，且数据开到了$O(n^4)$都能过的范围，直接套上一题的式子即可。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int N=210,mod=1000000007;
 8 char s[N];
 9 int n,a[N],sum[N][N],sz[N],f[N][N],g[N],C[N][N];
10 
11 void dfs(int x){
12     f[x][1]=sum[x][1]=sz[x]=1;
13     for (int s=x<<1; s<=((x<<1)|1); s++){
14         if (s>n) return; dfs(s);
15         memset(g,0,sizeof(g));
16         if (a[s]==2){
17             rep(i,1,sz[x]) if (f[x][i]) rep(j,0,sz[s]) if (sum[s][j])
18                 g[i+j]=(g[i+j]+1ll*f[x][i]*sum[s][j]%mod*C[i+j-1][i-1]%mod*C[sz[x]-i+sz[s]-j][sz[x]-i]%mod)%mod;
19         }else{
20             rep(i,1,sz[x]) if (f[x][i]) rep(j,0,sz[s])
21                 g[i+j]=(g[i+j]+1ll*f[x][i]*(sum[s][sz[s]]-sum[s][j]+mod)%mod*C[i+j-1][i-1]%mod*C[sz[x]-i+sz[s]-j][sz[x]-i])%mod;
22         }
23         sz[x]+=sz[s];
24         rep(i,1,sz[x]) f[x][i]=g[i],sum[x][i]=(sum[x][i-1]+g[i])%mod;
25     }
26 }
27 
28 int main(){
29     freopen("keyboard.in","r",stdin);
30     freopen("keyboard.out","w",stdout);
31     scanf("%d",&n); scanf("%s",s+1);
32     rep(i,0,n) C[i][0]=1;
33     rep(i,1,n) rep(j,1,n) C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
34     rep(i,2,n) if (s[i-1]==\'<\') a[i]=1; else a[i]=2;
35     dfs(1); printf("%d\\n",sum[1][sz[1]]);
36     return 0;
37 }