bzoj 3811 玛里苟斯 - 线性基

Posted 2020-10-29 阿波罗2003

题目传送门

　　传送门I

　　传送门II

题目大意

　　给定集合$S$，问集合$S$的任意选一个子集的异或和的$k$次幂期望。

　　保证答案在$2^{63}$内。

　　注意到答案在$2^{63}$内，所以，当$k \geqslant 3$的时候，$a_{i} \leqslant 2^{21}$，这意味着本质不同的异或结果至多$2^{21}$个。

　　于是可以做线性基，然后暴力枚举子集计算异或和$k$次幂。

　　注意答案在$2^{63}$内，但是中间结果会溢出。所以用两个unsigned long long来压成__int128。

　　恰好除数为$2^{\left | \mathfrak{B} \right |}$。可以保留$\left \lfloor \frac{ans}{2^{\left | \mathfrak{B} \right |}} \right \rfloor$，以及除以$2^{\left | \mathfrak{B} \right |}$的余数。

　　现在考虑$k < 3$的情况。

• 如果$k = 1$，分别考虑每一位，如果这一位存在1个数为1，那么异或后这一位为1的概率为$\frac{1}{2}$，因为选了多少个这一位为0个数不会影响，有影响的只是选了这一位为$1$的数的奇偶性。记得之前某篇博客里证明过，非空集合的奇子集的数量等于偶子集的数量。但是如果不存在这一位为1的数，那么结果为$0$。
• 如果$k = 2$。那么对于一个异或和$x = b_{p}b_{p - 1}\cdots b_{0}$，它的贡献为$\sum_{i = 0}^{p}\sum_{j = 0}^{p} b_{i} \cdot b_{j} \cdot 2^{i + j}$。
  然后考虑枚举任意两个二进制位，考虑它们对答案的贡献。
  接着需要做的事是，考虑选取一个子集，它的异或和在第$i$位和第$j$位上的值同时为1的概率（否则没有贡献）。
  如果第$i$位和第$j$位上，如果其中一个不存在一个数在这一位上为1，那么概率为0。
  如果第$i$位和第$j$位上，不满足上面的条件，但所有数这两位上的值都相等，那么概率为$\frac{1}{2}$。
  如果以上两种情况都不满足，那么要同时满足选出的集合中两位上1的个数为奇数的概率就是$(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$。

　　然后这道题要用unsigned long long存答案，不然会WA。

Code

  1 /**
  2  * bzoj
  3  * Problem#3811
  4  * Accepted
  5  * Time: 1256ms
  6  * Memory: 2076k
  7  */
  8 #include <bits/stdc++.h>
  9 #ifdef WIN32
 10 #define Auto "%I64u"
 11 #else
 12 #define Auto "%llu"
 13 #endif
 14 using namespace std;
 15 typedef bool boolean;
 16 
 17 #define ll unsigned long long
 18 
 19 int n, k;
 20 ll *ar;
 21 
 22 inline void init() {
 23     scanf("%d%d", &n, &k);
 24     ar = new ll[(n + 1)];
 25     for (int i = 1; i <= n; i++)
 26         scanf(Auto, ar + i);
 27 }
 28 
 29 namespace small {
 30 
 31     ll res = 0, ans = 0;
 32     inline void solve() {
 33         if (k == 1)    {
 34             for (int i = 1; i <= n; i++)
 35                 res |= ar[i];
 36             printf(Auto, res >> 1);
 37             (res & 1) ? (puts(".5")) : (0);
 38         } else {
 39             for (int i = 0; i < 32; i++)
 40                 for (int j = 0; j < 32; j++) {
 41                     boolean aflag = false;
 42                     for (int k = 1; k <= n && !aflag; k++)
 43                         if (ar[k] & (1ll << i))
 44                             aflag = true;
 45                     if (!aflag)    continue;
 46                     aflag = false;
 47                     for (int k = 1; k <= n && !aflag; k++)
 48                         if (ar[k] & (1ll << j))
 49                             aflag = true;
 50                     if (!aflag)    continue;
 51                     aflag = false;
 52                     for (int k = 1; k <= n && !aflag; k++)
 53                         if (((ar[k] >> i) & 1) != ((ar[k] >> j) & 1))                                    aflag = true;
 54                     int p = i + j - aflag - 1;
 55                     if (p < 0)
 56                         res++;
 57                     else
 58                         ans += 1ll << p;
 59                 }
 60             ans += (res >> 1), res &= 1; 
 61             printf(Auto, ans);
 62             (res) ? puts(".5") : 0;
 63         }
 64     }
 65 
 66 }
 67 
 68 namespace big {
 69     const int maxbase = 23;
 70     ll br[maxbase];
 71     vector<ll> v;
 72     ll ans = 0, res = 0;
 73 
 74     inline void solve() {
 75         for (int i = 1; i <= n; i++)
 76             for (int j = maxbase - 1; ~j && ar[i]; j--) {
 77                 if ((ar[i] >> j) & 1) {
 78                     if (br[j])
 79                         ar[i] ^= br[j];
 80                     else
 81                         br[j] = ar[i], ar[i] = 0;
 82                 }
 83             }
 84         for (int i = 0; i < maxbase; i++)
 85             if (br[i])
 86                 v.push_back(br[i]);
 87         int s = (signed)v.size();
 88         ll mask = (1ull << s) - 1;
 89         for (int i = 0; i <= mask; i++) {
 90             ll xs = 0;
 91             for (int j = 0; j < s; j++)
 92                 if (i & (1 << j))
 93                     xs ^= v[j];
 94             ll a = 0, b = 1;
 95             for (int i = 0; i < k; i++) {
 96                 a = a * xs, b = b * xs;
 97                 a += (b >> s), b &= mask;
 98             }
 99 
100             ans += a, res += b;
101             ans += (res >> s), res &= mask;
102         }
103         printf(Auto, ans);
104         puts((res) ? (".5") : (""));
105     }
106 }
107 
108 int main() {
109     init();
110     if (k < 3)
111         small::solve();
112     else
113         big::solve();
114     return 0;
115 }