BZOJ3156 防御准备 动态规划 斜率优化
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题目传送门 - BZOJ3156
题意
长为$n$的序列$A$划分，设某一段为$[i,j]$，则其花费为$A_j+\\sum_{k=i}^{j}(j-k)$。
一种划分方式的花费就是他每一段的花费和。
最小化花费。
$n\\leq 10^6$
题解
斜率优化裸题。
设$dp_i$表示序列前$i$项通过划分可以到的最小花费。
则
$$dp_i=min\\{dp_j+a_i+\\frac{(i-j)(i-j-1)}{2}\\}(0\\leq j<i)$$
按照套路化简。
得：
$$dp_j+a_i+\\frac{(i-j)(i-j-1)}{2}\\\\=dp_j+a_i+\\frac{j^2}2+\\frac j2+\\frac{i^2}2-\\frac i2-ij$$
设$x_i=i,y_i=dp_i+\\frac{i^2}2+\\frac i2$，
则原式
$$=y_j-ix_j+\\frac{i^2}2-\\frac i2$$
假设$k<j$且从$k$转移比$j$劣，那么：
$$y_j-ix_j+\\frac{i^2}2-\\frac i2<y_k-ix_k+\\frac{i^2}2-\\frac i2$$
$$\\Longrightarrow y_j-ix_j<y_k-ix_k$$
$$\\Longrightarrow \\frac{y_j-y_k}{x_j-x_k}<i$$
然后就是套路（其实前面也是套路……）
参见这里
但是这里为了避免精度问题，我们在计算$x$和$y$的时候都乘个$2$就可以了。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1000005;
int n,q[N],head=1,tail=0;
LL a[N],id[N],dp[N],x[N],y[N];
int main(){
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&a[i]);
q[++tail]=0;
for (int i=1;i<=n;i++){
int j=q[head+1],k=q[head];
while (tail-head>0&&y[j]-y[k]<=(x[j]-x[k])*i)
head++,j=q[head+1],k=q[head];
j=k;
dp[i]=dp[j]+a[i]+1LL*(i-j-1)*(i-j)/2;
x[i]=i*2;
y[i]=dp[i]*2+i+1LL*i*i;
j=q[tail],k=q[tail-1];
while (tail-head>0&&(y[i]-y[j])*(x[j]-x[k])<=(y[j]-y[k])*(x[i]-x[j]))
tail--,j=q[tail],k=q[tail-1];
q[++tail]=i;
}
printf("%lld",dp[n]);
return 0;
}
以上是关于BZOJ3156 防御准备 动态规划 斜率优化的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章