1. 问题描述
给你若干篇文档，找出这些文档中最相似的两篇文档？
相似性，可以用距离来衡量。而在数学上，可使用余弦来计算两个向量的距离。
\\[cos(\\vec a, \\vec b)=\\frac {\\vec a*\\vec b}{||\\vec a||*||\\vec b||} \\]
因此，用向量来表示文档，然后就可以用余弦来计算两篇文章之间的相似度了。
2. 词袋模型
一篇文档里面有很多很多句子，每个句子又是由一个个的词组成。词袋模型，通俗地讲，就是：把一篇文档看成词袋，里面装着一个个的词。
从而，将一篇文档转化成了一个个的词(或者称之为 term)，显然地，文档转化成一个个的词之后，词与词之间的顺序关系丢失了。
3. TF-IDF
在计算文档之间相似度之前，会有一些前提条件：
- 我们有一个文档集合C，文档集合C里面一共有N篇文档
- 我们有一个词典D，或者叫词库（Vocabulary），词库里面一共有M个词
3.1 文档到向量的转化
向量是有长度的，向量中的每个元素是数值，比如一个三维实值向量：(1.2,2.8,4.5)
首先将文档通过词袋模型转化成一个个的词，一般地，由于文档中的词都会存在于词典D中，定义一个M维向量（M等于词典大小），若文档中的某个词在词典中出现了，就给这个词赋一个实数值。若未出现，则在相应位置处赋值为0
3.2 使用TF-IDF 衡量每个词(term)的权重
在给定的文档集合C和词典D的情况下，如何来衡量一个词(term)的权重呢？即如何计算这个实数值呢？
3.2.1 tf值
tf(term frequency)，是指 term 在某篇文档中出现的频率。假设文档集合中共有10篇文章，词：\'\'国家\'\'，在文档1中出现了6次，那么对于文档1而言，\'国家\'这个词的tf值为6。因此，tf 是针对单篇文档而言的，即：某个词在这篇文档中出现了多少次。词频是计算文档得分的一个因子，因此为了计算某篇文档的得分，使用的词频指的就是term在这篇文档中出现的次数，而不是term在所有文档中出现的次数。
3.2.2 idf值
\'国家\'这个词在文档1中的idf值 由 词(term) 出现在各个文档中数目来决定，比如\'国家\'一共在8篇文档中出现了，那么对于文档1而言，\'国家\'这个词的idf值由如下公式计算：
\\[idf_t=log\\frac{N}{df_t} \\]
其中，N=10 表示文档集合中共有10篇文章。\\(df_t=8\\)，表示 term 国家 在8篇文档中出现了。因此，idf 值是针对所有文档(文档集合)而言的，即：数一数这个词都出现在哪些文档中。
而TF-IDF，就是将tf值乘以idf值：
\\[TF-IDF=tf*idf \\]
前面提到，将文档向量化，需要给文档中的每个词赋一个实数值，这个实数值，就是通过tf*idf得到。
4. 总结
在给定文档集合C和词典D的条件下，将某篇文档通过词袋模型表示成一个个的词，而后根据 TF-IDF 为每个词计算出一个实数值；
由于词典D的大小为M，因此将这篇文档转化成一个M维向量，如果词典中某个词未出现在文档中，则这个词的在向量中对应的元素为0，若某个词出现在文档中，则这个词在向量中对应的元素值为这个词的tf-idf值。这样，就把文档表示成向量了，而这就是 向量空间模型(vector space model)。从这里也可看出：向量空间模型并没有catch住词(term)与词(term)之间的关系，它假设各个term之间是相互独立的。即：VSM implies the assumption on the independence between terms
而有了文档向量，也就可以用余弦公式计算文档之间的相似度了。
由于词典一般比较大，比如20万个词左右的汉语词典，而一篇文档中一般只包含几百个词，因此可看出：文档向量是很稀疏的。
另外，由于对于文档而言，词与词之间是有顺序的，比如文档开头是哪些词，中间有哪些词，结尾又是哪些词，但表示成向量之后，这个 顺序 信息丢失了。比如下面2篇文档，它们的文档向量是一样的。
Mary is quick than John
John is quick than Mary
总之，在我看来，向量空间模型是一种将文档转化成向量的方式，文档转化成了向量，从而可以在同一维度的空间中表示一个个的文档。向量中的每个元素是一个个的实数，每个元素对应着一个 词(term)，实数 是通过tf-idf计算出来的。由此看来，tf-idf也仅仅是一种将词(term)转化成实数的方式，当然我们也可以通过其他方法将 词 转化成实数。而这里的 词 则是由词典定义的，若词典中的某个词 在文档中，则计算这个词的tf-idf值，若某个词不在文档中，则这个词对应的向量元素为0。因此，得到的文档向量是M维的，其中M就是词典的大小---词典中词的个数。
将文档转化成了向量，文档之间的比较，就可以转化成向量的比较。因此，就能回答给定若干篇文档，哪两篇文档最相关这样的问题了。在实际应用中，比如Lucene中的TF-IDF Similarity就是基于VSM来实现的。从VSM Model到Lucene Conceptual Scoring Formula 再到 Lucene Practical Scoring Formula，解释了在实际应用中，我们输入一个查询字符串，Lucene是如何计算文档的得分，从而找出与查询字符串最相关的文档的。
5. 实际应用
在实际应用中，我们并不是直接使用 TF*IDF 这个理论模型，因为它计算出来的权重偏向于短文本，因此需要某种平滑。
举个例子来说，term1在docA中出现了3次，term2在docA中出现了9次，根据上面计算TF的方式，意味着：term2的tf权重（或者说重要性）比term1要大3倍，那真的是重要3倍么？因此，在Lucene的实际评分模型中，计算的是sqrt(tf)，即通过 tf 开根号，起到一定的平滑作用。类似地，计算 idf 时，是取log对数，也是为了平滑。
参考资料：
- 《An Introduction to Information Retrieval》第6章
- bm25-the-next-generation-of-lucene-relevation
- Lucene JAVA API TF-IDF Similarity