最小生成树-Prim算法和Kruskal算法

Posted 2020-10-29 zhchoutai

Prim算法

1.概览

普里姆算法（Prim算法）。图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中。不但包括了连通图里的全部顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其全部边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现。并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现。1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。

因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

 

2.算法简单描写叙述

1).输入：一个加权连通图。当中顶点集合为V，边集合为E；

2).初始化：V_new = {x}，当中x为集合V中的任一节点（起始点），E_new = {},为空；

3).反复下列操作，直到V_new = V：

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，当中u为集合V_new中的元素。而v不在V_new集合当中。而且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有同样权值的边，则可随意选取当中之中的一个）；

b.将v增加集合V_new中，将<u, v>边增加集合E_new中。

4).输出：使用集合V_new和E_new来描写叙述所得到的最小生成树。

 

以下对算法的图例描写叙述

图例	说明	不可选	可选	已选（Vnew）
	此为原始的加权连通图。每条边一側的数字代表其权值。	-	-	-
	顶点D被随意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D近期的顶点。因此将A及对应边AD以高亮表示。	C, G	A, B, E, F	D
	下一个顶点为距离D或A近期的顶点。B距D为9，距A为7。E为15。F为6。因此，F距D或A近期，因此将顶点F与对应边DF以高亮表示。	C, G	B, E, F	A, D
	算法继续反复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。	C	B, E, G	A, D, F
	在当前情况下，能够在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E近期。因此将顶点E与对应边BE高亮表示。	无	C, E, G	A, D, F, B
	这里。可供选择的顶点仅仅有C和G。C距E为5。G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。	无	C, G	A, D, F, B, E
	顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E近期。故高亮表示G及对应边EG。	无	G	A, D, F, B, E, C
	如今，全部顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。	无	无	A, D, F, B, E, C, G

 

3.简单证明prim算法

反证法：如果prim生成的不是最小生成树

1).设prim生成的树为G₀

2).如果存在G_min使得cost(G_min)<cost(G₀)   则在G_min中存在<u,v>不属于G₀

3).将<u,v>增加G₀中可得一个环。且<u,v>不是该环的最长边(这是由于<u,v>∈G_min)

4).这与prim每次生成最短边矛盾

5).故如果不成立，命题得证.

 

 

 4.算法代码实现(未检验)

#define MAX  100000
#define VNUM  10+1                                             //这里没有ID为0的点,so id号范围1~10

int edge[VNUM][VNUM]={/*输入的邻接矩阵*/};
int lowcost[VNUM]={0};                                         //记录Vnew中每一个点到V中邻接点的最短边
int addvnew[VNUM];                                             //标记某点是否增加Vnew
int adjecent[VNUM]={0};                                        //记录V中与Vnew最邻近的点


void prim(int start)
{
     int sumweight=0;
     int i,j,k=0;

     for(i=1;i<VNUM;i++)                                      //顶点是从1開始
     {
        lowcost[i]=edge[start][i];
        addvnew[i]=-1;                                         //将全部点至于Vnew之外,V之内，这里仅仅要对应的为-1，就表示在Vnew之外
     }

     addvnew[start]=0;                                        //将起始点start增加Vnew
     adjecent[start]=start;
                                                 
     for(i=1;i<VNUM-1;i++)                                        
     {
        int min=MAX;
        int v=-1;
        for(j=1;j<VNUM;j++)                                      
        {
            if(addvnew[j]!=-1&&lowcost[j]<min)                 //在Vnew之外寻找最短路径
            {
                min=lowcost[j];
                v=j;
            }
        }
        if(v!=-1)
        {
            printf("%d %d %d\\n",adjecent[v],v,lowcost[v]);
            addvnew[v]=0;                                      //将v加Vnew中

            sumweight+=lowcost[v];                             //计算路径长度之和
            for(j=1;j<VNUM;j++)
            {
                if(addvnew[j]==-1&&edge[v][j]<lowcost[j])      
                {
                    lowcost[j]=edge[v][j];                     //此时v点增加Vnew 须要更新lowcost
                    adjecent[j]=v;                             
                }
            }
        }
    }
    printf("the minmum weight is %d",sumweight);
}

 

5.时间复杂度

这里记顶点数v，边数e

邻接矩阵:O(v²)                 邻接表:O(elog₂v)

 

 

 

Kruskal算法

 

1.概览

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在同样权值的边时也有效。

 

2.算法简单描写叙述

1).记Graph中有v个顶点。e个边

2).新建图Graph_new，Graph_new中拥有原图中同样的e个顶点，但没有边

3).将原图Graph中全部e个边按权值从小到大排序

4).循环：从权值最小的边開始遍历每条边 直至图Graph中全部的节点都在同一个连通分量中

                if 这条边连接的两个节点于图Graph_new中不在同一个连通分量中

                                         增加这条边到图Graph_new中

 

图例描写叙述：

首先第一步。我们有一张图Graph，有若干点和边 

 

将全部的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的根据。

这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完毕后。我们领先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图

 

 

 

在剩下的变中寻找。我们找到了CE。

这里边的权重也是5

依次类推我们找到了6,7,7，即DF。AB，BE。

以下继续选择， BC或者EF虽然如今长度为8的边是最小的未选择的边。可是如今他们已经连通了（对于BC能够通过CE,EB来连接，相似的EF能够通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不须要选择他们。

相似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。

最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。

最后成功的图就是右：

 

 

 

3.简单证明Kruskal算法

对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对随意n阶图适用。

归纳基础：

n=1。显然能够找到最小生成树。

归纳过程：

如果Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中。我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v\'。把原来接在u和v的边都接到v\'上去。这样就能够得到一个k阶图G\'(u,v的合并是k+1少一条边)，G\'最小生成树T\'能够用Kruskal算法得到。

我们证明T\'+{<u,v>}是G的最小生成树。

用反证法，如果T\'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T。即W(T)<W(T\'+{<u,v>})。

显然T应该包括<u,v>，否则，能够用<u,v>增加到T中，形成一个环，删除环上原有的随意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}。是G\'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T\')。也就是W(T)<=W(T\')+W(<u,v>)=W(T\'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是如果不成立。T\'+{<u,v>}是G的最小生成树。Kruskal算法对k+1阶图也适用。

由数学归纳法，Kruskal算法得证。

 

 

 

4.代码算法实现

typedef struct          
{        
    char vertex[VertexNum];                                //顶点表         
    int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表         
    int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数         
}MGraph; 
 
typedef struct node  
{  
    int u;                                                 //边的起始顶点   
    int v;                                                 //边的终止顶点   
    int w;                                                 //边的权值   
}Edge; 

void kruskal(MGraph G)  
{  
    int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k;  
    int vset[VertexNum];                                    //辅助数组。判定两个顶点是否连通   
    int E[EdgeNum];                                         //存放全部的边   
    k=0;                                                    //E数组的下标从0開始   
    for (i=0;i<G.n;i++)  
    {  
        for (j=0;j<G.n;j++)  
        {  
            if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF)  
            {  
                E[k].u=i;  
                E[k].v=j;  
                E[k].w=G.edges[i][j];  
                k++;  
            }  
        }  
    }     
    heapsort(E,k,sizeof(E[0]));                            //堆排序，按权值从小到大排列       
    for (i=0;i<G.n;i++)                                    //初始化辅助数组   
    {  
        vset[i]=i;  
    }  
    k=1;                                                   //生成的边数，最后要刚好为总边数   
    j=0;                                                   //E中的下标   
    while (k<G.n)  
    {   
        sn1=vset[E[j].u];  
        sn2=vset[E[j].v];                                  //得到两顶点属于的集合编号   
        if (sn1!=sn2)                                      //不在同一集合编号内的话，把边增加最小生成树   
        {
            printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w);       
            k++;  
            for (i=0;i<G.n;i++)  
            {  
                if (vset[i]==sn2)  
                {  
                    vset[i]=sn1;  
                }  
            }             
        }  
        j++;  
    }  
}  

时间复杂度：elog₂e  e为图中的边数