NOIP2017宝藏(状态压缩,动态规划)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了NOIP2017宝藏(状态压缩,动态规划)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

【NOIP2017】宝藏(状态压缩,动态规划)

题面

洛谷
题目描述

参与考古挖掘的小明得到了一份藏宝图,藏宝图上标出了 n 个深埋在地下的宝藏屋, 也给出了这 n 个宝藏屋之间可供开发的 m 条道路和它们的长度。

小明决心亲自前往挖掘所有宝藏屋中的宝藏。但是,每个宝藏屋距离地面都很远, 也就是说,从地面打通一条到某个宝藏屋的道路是很困难的,而开发宝藏屋之间的道路 则相对容易很多。

小明的决心感动了考古挖掘的赞助商,赞助商决定免费赞助他打通一条从地面到某 个宝藏屋的通道,通往哪个宝藏屋则由小明来决定。

在此基础上,小明还需要考虑如何开凿宝藏屋之间的道路。已经开凿出的道路可以 任意通行不消耗代价。每开凿出一条新道路,小明就会与考古队一起挖掘出由该条道路 所能到达的宝藏屋的宝藏。另外,小明不想开发无用道路,即两个已经被挖掘过的宝藏 屋之间的道路无需再开发。

新开发一条道路的代价是:L*K
L代表这条道路的长度,K代表从赞助商帮你打通的宝藏屋到这条道路起点的宝藏屋所经过的 宝藏屋的数量(包括赞助商帮你打通的宝藏屋和这条道路起点的宝藏屋) 。

请你编写程序为小明选定由赞助商打通的宝藏屋和之后开凿的道路,使得工程总代 价最小,并输出这个最小值。
输入输出格式
输入格式:

第一行两个用空格分离的正整数 n 和 m,代表宝藏屋的个数和道路数。

接下来 m 行,每行三个用空格分离的正整数,分别是由一条道路连接的两个宝藏 屋的编号(编号为 1~n),和这条道路的长度 v。

输出格式:

输出共一行,一个正整数,表示最小的总代价。

题解

去年的题目我现在才来改。我是真的弱。。。

感觉去年考场上想的其实已经是我现在这个方法了,只是当时对于位运算的一些操作还是不熟悉,导致了巨大的常数,导致自己\(GG\)。当然,考场上也没有处理\(INF\)的问题导致炸掉了。。。

回归正题。

考虑状态\(f[S]\)表示当前已经连接了状态\(S\)的宝藏
但是我们的转移和当前的层数有关,
因此,加上一维\(f[i][S]\)表示当前已经有\(i\)层,状态是\(S\)的最小代价
枚举\(i,S\),枚举\(S\)的补集,考虑哪一些放在当前这一层就行了。
时间复杂度,大概是\(O(n3^n)\),我不确定诶。。。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define INF (1000000000)
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
int g[15][15],n,m;
int f[15][1<<12],V[15];
int p[15],lg[1<<15];
int main()
{
    n=read();m=read();
    memset(g,63,sizeof(g));
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        int u=read()-1,v=read()-1,w=read();
        g[u][v]=g[v][u]=min(g[u][v],w);
    }
    for(int i=0;i<n;++i)lg[1<<i]=i;
    memset(f,63,sizeof(f));
    for(int i=0;i<n;++i)f[0][1<<i]=0;
    for(int i=0;i<n;++i)
        for(int j=0;j<(1<<n);++j)
        {
            if(f[i][j]>=INF)continue;
            int cnt=0;
            for(int k=0;k<n;++k)
                if(~j&(1<<k))
                {
                    V[k]=INF;
                    for(int a=j;a;a-=a&(-a))
                        if(g[lg[a&(-a)]][k]<INF)
                            V[k]=min(V[k],g[lg[a&(-a)]][k]*(i+1));
                    p[cnt++]=k;
                }
            for(int k=0;k<(1<<cnt);++k)
            {
                int tt=0,S=0;
                for(int a=0;a<cnt;++a)
                    if(k&(1<<a))
                    {
                        if(V[p[a]]==INF||tt>=INF){tt=INF;break;}
                        tt+=V[p[a]];S|=1<<p[a];
                    }
                if(tt==INF)continue;
                f[i+1][S|j]=min(f[i+1][S|j],f[i][j]+tt);
            }
        }
    int ans=INF;
    for(int i=0;i<n;++i)ans=min(ans,f[i][(1<<n)-1]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

以上是关于NOIP2017宝藏(状态压缩,动态规划)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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